Çözüldü Nokta ve Doğrunun Analitiği-1. ve 2. Derece Denklemler-Konide Hacim-İntegral

Konusu 'Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral' forumundadır ve Honore tarafından 7 Temmuz 2024 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    10.079
    Beğenileri:
    657
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Ortaöğretim matematik programından integralin çıkartılmasının verdiği büyük mutluluklarla başlatılan eğlencelere, Vefa Lisesi'nin efsane matematik öğretmeni sayın İhsan Irk Hocamızın çözümlü problemlerinden birinin fen lisesi için zorlaştırılmış klasik sınav uyarlamasıyla devam ediyoruz:

    x + 3y - 1 = 0 ve 5x + 16y = 0 doğrularının kesim noktasından geçen ve koordinat eksenleriyle yaptıkları üçgenlerin alanları 20 birim^2 olan doğruların kesişme noktası ile ordinat eksenini kesim noktalarını köşe kabul eden üçgenin bu eksen etrafındaki dönüşüyle meydana gelen cismin hacmini integralle bulunuz ve sonucu ilgili sentetik geometri formülüyle doğrulayınız.

    Tüm basit ara işlemler ve integrallerin neden öyle yazıldıklarının öğrenilerek sonuçlandırılması ilgilenen öğrencilere ödev.
    Verilen doğruların kesişme noktası: P(16, -5)
    P noktasından geçen doğruların genel denklemi, m eğim olmak üzere y + 5 = m(x - 16) olup,
    x eksenini kestiği nokta: A( (16m + 5) / m, 0 )
    y eksenini kestiği nokta: B(0, -16m - 5)
    Doğru denkleminden y = m·x - 16m - 5....(I)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/Y20W5z5/e-imler-WA.png
    https://www.wolframalpha.com/input?i=( ∫ (m*x-16m-5) dx from x=0..(16m+5)/m ) = 20

    f(x) = m·(x^2 / 2) - 16m·x - 5x
    f[ (16m + 5) / m ] - f(0) = 20
    (16m + 5) / 2 - (16m + 5) = 20m / (16m + 5)
    20m / (16m + 5) + (16m + 5) / 2 = 0
    256m^2 + 200m + 25 = 0 ⇒ m1 = -5 / 8....(II) V m2 = -5 / 32....(III)
    (II) ve (III) değerleriyle doğruların denklemleri x = 8 - 8y / 5 ile x = -16 - 32y / 5 olarak y eksenini kestikleri noktalar sırasıyla
    (0, 5) ve (0, -5 / 2) bulunur ve aranan hacim:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/Zhsp7vw/Hacim-ntegral.png
    https://www.wolframalpha.com/input?i=π*[ (∫(8-8y/5)^2 dy from y=-5..5) - (∫(-16-32y/5)^2 dy from y=-5..-5/2) ]

    Koniye Ait Sentetik Geometri Formülüyle: (1 / 3)·π·16^2·( 5 + |-5| ) - (1 / 3)·π·16^2·( |-5| - |-5 / 2| ) = 640π birim^3.

    WolframAlpha Kontrolu:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/NVSJwYt/Koni-WA.png
    https://www.wolframalpha.com/input?i=(1/3)*pi*16^2(10-(-5/2+5))

    Kaynak: Çözümlü Analitik Geometri Problemleri (Düzlem), İhsan Irk, İnkılâp ve AKA Kitabevleri, 1966, Sayfa 22, Problem 23
    https://www.nadirkitap.com/cozumlu-analitik-geometri-problemleri-duzlem-ihsan-irk-kitap26647230.html
    [Sorunun aslı sadece m eğimine bağlı ve (I) numaralı doğru denklemlerinin bulunmasıdır.]

  2. Benzer Konular: Nokta Doğrunun
    Forum Başlık Tarih
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Ortalama Değişim Oranı (Doğrunun Eğimi) - Noktanın ve Doğrunun Analitiği 6 Şubat 2025
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Noktanın ve Doğrunun Analitiği (Akıldan çözülecek) 6 Şubat 2025
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Noktanın ve Doğrunun Analitiği - Pisagor Teoremi - İkinci Derece Denklemde Çarpanlara Ayırma 29 Ocak 2025
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Parabol - İki Bilinmeyenli Denklem - Noktanın ve Doğrunun Analitiği - Üçgende Alan 15 Ocak 2025
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Noktanın ve Doğrunun Analitiği - Kosinüs Teoremi - Düzgün Altıgende Çevre 14 Ocak 2025

Sayfayı Paylaş