Çözüldü Nokta ve Doğrunun Analitiği-1. ve 2. Derece Denklemler-Konide Hacim-İntegral

Ortaöğretim matematik programından integralin çıkartılmasının verdiği büyük mutluluklarla başlatılan eğlencelere, Vefa Lisesi'nin efsane matematik öğretmeni sayın İhsan Irk Hocamızın çözümlü problemlerinden birinin fen lisesi için zorlaştırılmış klasik sınav uyarlamasıyla devam ediyoruz:

x + 3y - 1 = 0 ve 5x + 16y = 0 doğrularının kesim noktasından geçen ve koordinat eksenleriyle yaptıkları üçgenlerin alanları 20 birim^2 olan doğruların kesişme noktası ile ordinat eksenini kesim noktalarını köşe kabul eden üçgenin bu eksen etrafındaki dönüşüyle meydana gelen cismin hacmini integralle bulunuz ve sonucu ilgili sentetik geometri formülüyle doğrulayınız.

Tüm basit ara işlemler ve integrallerin neden öyle yazıldıklarının öğrenilerek sonuçlandırılması ilgilenen öğrencilere ödev.
Verilen doğruların kesişme noktası: P(16, -5)
P noktasından geçen doğruların genel denklemi, m eğim olmak üzere y + 5 = m(x - 16) olup,
x eksenini kestiği nokta: A( (16m + 5) / m, 0 )
y eksenini kestiği nokta: B(0, -16m - 5)
Doğru denkleminden y = m·x - 16m - 5....(I)

https://i.ibb.co/Y20W5z5/e-imler-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=( ∫ (m*x-16m-5) dx from x=0..(16m+5)/m ) = 20

f(x) = m·(x^2 / 2) - 16m·x - 5x
f[ (16m + 5) / m ] - f(0) = 20
(16m + 5) / 2 - (16m + 5) = 20m / (16m + 5)
20m / (16m + 5) + (16m + 5) / 2 = 0
256m^2 + 200m + 25 = 0 ⇒ m1 = -5 / 8....(II) V m2 = -5 / 32....(III)
(II) ve (III) değerleriyle doğruların denklemleri x = 8 - 8y / 5 ile x = -16 - 32y / 5 olarak y eksenini kestikleri noktalar sırasıyla
(0, 5) ve (0, -5 / 2) bulunur ve aranan hacim:

https://i.ibb.co/Zhsp7vw/Hacim-ntegral.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=π*[ (∫(8-8y/5)^2 dy from y=-5..5) - (∫(-16-32y/5)^2 dy from y=-5..-5/2) ]

Koniye Ait Sentetik Geometri Formülüyle: (1 / 3)·π·16^2·( 5 + |-5| ) - (1 / 3)·π·16^2·( |-5| - |-5 / 2| ) = 640π birim^3.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/NVSJwYt/Koni-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(1/3)*pi*16^2(10-(-5/2+5))

Kaynak: Çözümlü Analitik Geometri Problemleri (Düzlem), İhsan Irk, İnkılâp ve AKA Kitabevleri, 1966, Sayfa 22, Problem 23
https://www.nadirkitap.com/cozumlu-analitik-geometri-problemleri-duzlem-ihsan-irk-kitap26647230.html
[Sorunun aslı sadece m eğimine bağlı ve (I) numaralı doğru denklemlerinin bulunmasıdır.]