Çözüldü Olasılık (6 Soru)

mine53 · 17 Ekim 2022

soru-1) En çok iki basamaklı doğal sayılardan oluşan kartlar bir torbaya atılıyor. Torbadan aynı anda alınan iki kart üzerindeki sayıların çarpımının çift olma olasılığı kaçtır?

Soru-2) A torbasında 3 kırmızı ve 2 yeşil bilye, B torbasında 2 kırmızı ve 3 yeşil bilye vardır. Bir zar havaya atıldığında üst yüzü asal sayı geldiğinde A torbasından, üst yüze gelen sayı asal değil ise B torbasından bir bilye çekiliyor.
Çekilen bilyenin yeşil olma olasılığı kaçtır?

Soru-3) Hileli bir zarda üst yüze gelen sayı, sayı ile orantılı olduğuna göre üst yüze gelen sayının bir çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Soru-4) A={1,2,3,4,5,6,7,8} kümesinin elemanları kullanılarak 6 haneli şifreler oluşturulacaktır. Eğer şifrenin son basamağı 8 ise, ilk basamağı 1 ile başlayacaktır. Buna göre kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Soru-5) İki zar aynı anda havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayıların aynı olduğu bilindiğine göre üst yüze gelen sayıların ikisinin de asal olma olasılığı kaçtır?

Soru-6) İki zar aynı anda havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamı 7 den büyük olduğuna göre 9 olma olasılığı kaçtır?

Honore · 15 Ekim 2019

Soru - 1
En çok iki basamaklı doğal sayılardan oluşan kartlar bir torbaya atılıyor. Torbadan aynı anda alınan iki kart üzerindeki sayıların çarpımının çift olma olasılığı kaçtır?

Tek basamaklı çift sayılar kümesi = {0, 2, 4, 6, 8} olup 5 tane
Tek basamaklı tek sayılar kümesi = {1, 3, 5, 7, 9} olup 5 tane
İki basamaklı çift sayılar kümesi = {10, 12,..., 98} olup [ (98 - 10) / 2 ] + 1 = 44 + 1 = 45 tane
İki basamaklı tek sayılar kümesi = {11, 13,..., 99} olup [ (99 - 11) / 2 ] + 1 = 44 + 1 = 45 tane
Çekilebilecek iki Kart Sayısı = C(5 + 5 + 45 + 45, 2) = C(100, 2) = 4950
Sayıların çarpımında sonucun çift olması için "çift x çift" veya "tek x çift" durumu gerektiğinden;
5·45 + (5 + 45)·(5 + 45) = 2725 tane uygun durum olup aranan olasılık 2725 / 4950 = 109 / 198

Çözümde bir hata göremedim ama sonucu da beğenmedim, yanlışsa başka forumlara veya Facebook gruplarına sormanız iyi olur.
---
Soru - 2
A torbasında 3 kırmızı, 2 yeşil bilye,
B torbasında 2 kırmızı, 3 yeşil bilye vardır.
Bir zar havaya atıldığında;
üst yüze asal sayı geldiğinde A torbasından,
üst yüze gelen sayı asal değil ise B torbasından bir bilye çekiliyor.
Çekilen bilyenin yeşil olma olasılığı kaçtır?

Zarın üst yüzüne asal gelme veya gelmeme olasılıkları eşit ve 3 / 6 = 1 / 2'dir yani A veya B torbalarından çekiliş yapma olasılıkları da eşit ve 1 / 2'dir.
O halde aranan olasılık; (1 / 2)(2 / 5) + (1 / 2)(3 / 5) = 2 / 10 + 3 / 10 = 5 / 10 = 1 / 2.
---
Soru - 3
Hileli bir zarda üst yüze gelen sayı, sayı ile orantılı olduğuna göre üst yüze gelen sayının bir çift sayı olma olasılığı kaçtır?

1 gelmesi olasılığı: p1 = 1·p
2 gelmesi olasılığı: p2 = 2·p
...
6 gelmesi olasılığı: p6 = 6·p

Olasılıklar toplamı 1 olduğundan p(1 + 2 , ..., + 6) = 1 ⇒ p = 1 / [ 6·(6 + 1) / 2 ] = 1 / 21
p2 = 2 / 21
p4 = 4 / 21
p6 = 6 / 21
P(Çift gelme olasılığı) = (2 + 4 + 6) / 21 = 12 / 21 = 4 / 7
---
Soru - 4
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanları kullanılarak 6 haneli şifreler oluşturulacaktır. Şifrenin son basamağı 8 ise ilk basamağı 1 ile başlayacaktır. Buna göre kaç farklı şifre oluşturulabilir?

1 - - - - 8 durumunda ortadaki boşlukların (basamakların) her birine 8 sayı gelebilir yani 1·8·8·8·8·1 = 8^4 tane şifre,
ayrıca;
ilk basamağa 1 hariç 7 rakam,
son basamağa 8 hariç 7 rakam
ortadaki dört basamağa da 8 rakam yani kümenin tüm elemanları gelebileceğinden 7·8·8·8·8·7 = (7^2)·(8^4) tane şifre olmak üzere toplam;
8^4 + (7^2)·(8^4) = (8^4)·[ 1 + (7^2) ] = (8^4)·50 = 204800 tane şifre olabilir diye düşünüyorum ama acaba göremediğim bir şey var mı diye araştırdım. Sorunun cevabı https://www.facebook.com/FaceMatematik/posts/10150699633248018/ adresinde 233472 olarak verilmiş, o yüzden bir şey diyemiyorum. Başka forumlara veya gruplara sormanız iyi olur. problemi bilgisayara yıktım ve o da aynı sonucu buldu:

https://i.ibb.co/VM17qwT/ifre-Fortran.png

Şifrelerin tamamı: (programın verdiği "sayilar.txt" dosyası)
https://drive.google.com/open?id=1-Y82GM6yR9xOR6DzorlCyJGKeyj9mTad

Bilgisayar programlamayla ilgilenen öğrenci üyeler için Fortran programı:
Kod:
program password
implicit none
integer*8 :: n,toplam=0

open (unit = 1, file = "sayilar.txt")

do n=111111,888888
   if ( (mod(n,10)==8).and.(n/10**5/=1) ) cycle
   if ( (n/10**5==1).and.(mod(n,10)/=8) ) cycle

   if ( (mod(n,10)==0).or.(mod(n,10)==9) ) cycle
   if ( (mod(n/10,10)==0).or.(mod(n/10,10)==9) ) cycle
   if ( (mod(n/10**2,10)==0).or.(mod(n/10**2,10)==9) ) cycle
   if ( (mod(n/10**3,10)==0).or.(mod(n/10**3,10)==9) ) cycle
   if ( (mod(n/10**4,10)==0).or.(mod(n/10**4,10)==9) ) cycle
   if ( (n/10**5==0).or.(n/10**5==9) ) cycle
   toplam=toplam+1
   write(1,5)toplam,"  ",n
enddo

write(6,6)toplam,' adet sifre olabilir. sayilar.txt dosyasina bakiniz.'

5 format(i6,a,i6)
6 format(i6,a,/)

close(1)

end program
---
Soru - 5
İki zar aynı anda havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayıların aynı olduğu bilindiğine göre üst yüze gelen sayıların ikisinin de asal olma olasılığı kaçtır?

1 - 1
2 - 2...Asal
3 - 3...Asal
4 - 4
5 - 5...Asal
6 - 6

Toplam 6 durum var.
[çünkü (1 / 6)·(1 / 6) + (1 / 6)·(1 / 6) + ... + (1 / 6)·(1 / 6) ifadesinde 6 tane terim toplamı bulunduğundan iki zarın da aynı gelme olasılığı;
6·(1 / 6)·(1 / 6) = 1 / 6'dır.]

İki zarın da asal olma olasılığı 3 / 6 = 1 / 2
---
Soru - 6
İki zar aynı anda havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamı 7 den büyük olduğuna göre 9 olma olasılığı kaçtır?

1. durum: 2 + 6
2. durum: 3 + 5
3. durum: 3 + 6 = 9
4. durum: 4 + 4
5. durum: 4 + 5 = 9
6. durum: 4 + 6
7. durum: 5 + 5
8. durum: 5 + 6
9. durum: 6 + 6
-----
Toplam 9 durum olup olasılık da 2 / 9.
---
Not: Soruyu gönderen, çözüm var mı yok mu diye en az 47 saat gelip bakmadığından 14 Ekim 2019 saat 22:21'de forumdan atılmıştır!

Emincan · 8 Nisan 2021

Bundan sonra yolu buralara düşüp bu soruları gören öğrenciler için ben de bir takım çözümleri buraya bırakmak isterim.

Soru 1 : En çok iki basamaklı doğal sayılardan oluşan kartlar bir torbaya atılıyor.
Torbadan aynı anda alınan iki kart üzerindeki sayıların çarpımının çift olma olasılığı kaçtır?

Torbamızda 0,1,2,3......99 (50 tane çift, 50 tane tek sayı) şeklinde toplamda 100 tane kartımız var. 2 Kart çekeceğiz ve bu 2 kartın çarpımının çift olmasını istiyoruz.
2 sayının çarpımının çift olması için sayılardan en az birinin çift olması lazım. Yani bizim istediğimiz 2 durum mevcut.

1.İstediğimiz Durum = 1 Çift - 1 Tek kart çekme durumumuz.
2.İstediğimiz Durum = 2 Çift kart çekme durumumuz.

İstediğimiz 1.Durumun olasılığı = (50/100) x (50/100) x 2 = (1/2) x (1/2) x 2 = 1/2
İstediğimiz 2.Durumun olasılığı = (50/100) x (50/100) = (1/2) x (1/2) = 1/4

CEVAP = 1/2 + 1/4 = 3/4

Soru 2 : A torbasında 3 kırmızı ,2 yeşil bilye,B torbasında 2 kırmızı ,3 yeşil bilye vardır.Bir zar hava-ya atıldığında üst yüzü asal sayı geldiğinde A torbasından,üst yüze gelen sayı asal değil ise B torbasından bir bilye çekiliyor.
Çekilen bilyenin yeşil olma olasılığı kaçtır?

Gene bizim istediğimiz 2 durum mevcut.
1.İstediğimiz Durum = Zar'ı atınca asal gelmesi ve ardından A torbasından bir top çekince yeşil gelmesi durumu
2.İstediğimiz Durum = Zar'ı atınca asal GELMEMESİ ve ardından B torbasından bir top çekince yeşil gelmesi durumu

İstediğimiz 1.Durumun Olasılığı = (3/6) x (2/5) = 2/10
İstediğimiz 2.Durumun Olasılığı = (3/6) x (3/5) = 3/10

CEVAP = 2/10 + 3/10 = 5/10 = 1/2

Soru 3 : Hileli bir zarda üst yüze gelen sayı,sayı ile orantılı olduğuna göre ,üst yüze gelen sayının bir çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Öncelikle soru yanlış ya da eksik yazılmış. Tam olarak neyi kastettiği anlaşılmıyor. Ama bir tahmin yürütücek olursam bence şunu kastediyor ve şöyle sorması lazımdı :
Hileli bir zarın üst yüzeyine herhangi bir sayı gelme olasılığı zarın yüzlerinde bulunan sayılar ile orantılıdır. Buna göre üst yüze gelen sayının çift sayı olma olasılığı kaçtır ?

Soru bence yukarıdaki gibi sorulmalıydı. Yukarıdaki gibi bir şeyi sorduğunu varsayarak şöyle bir çözüm yaptım.

Zarın 1 gelme olasılığının büyüklüğü 1birim ise
Zarın 2 gelme olasılığının büyüklüğü 2 birim
Zarın 3 gelme olasılığının büyüklüğü 3 birim
Zarın 4 gelme olasılığının büyüklüğü 4 birim
Zarın 5 gelme olasılığının büyüklüğü 5 birim
Zarın 6 gelme olasılığının büyüklüğü 6 birim
olur.

Dolayısıyla tüm durumumuz = 1+2+3+4+5+6 = 21 olur
İstediğimiz durum ise 2-4-6 gelme durumları = 2+4+6 = 12 olur.

CEVAP = 12/21 = 4/7 olur.

Soru 4 : A={1,2,3,4,5,6,7,8} kümesinin elemanları kullanılarak 6 haneli şifreler oluşturulacaktır.Eğer şifrenin son basamağı 8 ise, ilk basamağı 1 ile başlayacaktır.
Buna göre kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Şartımız son basamağımızda eğer 8 sayısı olursa ilk basamağa mecburen 1 yazacağız.
O halde son basamakta 8 yazılması durumunu ve son basamakta 8 dışındaki diğer 7 sayıdan biri yazılması durumunu ayrı ayrı incelemeliyiz.

Son basamağa 8 dışındaki 7 sayıdan bir tanesinin yazılmasıyla oluşturulabilecek şifre sayısı = 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 7 = (8^5) x 7
Son basamağa 8 yazılmasıyla oluşturulabilecek şifre sayısı = 1 x 8 x 8 x 8 x 8 x 1 = 8^4

CEVAP = (8^5) x 7 + 8^4 = 233.472

Soru 5 : İki zar aynı anda havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayıların aynı olduğu bilindiğine göre üst yüze gelen sayıların ikisinin de asal olma olasılığı kaçtır?

Üst yüze aynı sayı geldiği biliniyorsa demek ki
(1,1)
(2,2)
(3,3)
(4,4)
(5,5)
(6,6)

Durumlarından bir tanesi gerçekleşti.
Yani toplamda 6 durumdan birisi gerçekleşti.
Bu 6 durumdan kaç tanesi bizim istediğimiz gibi 2 asal sayıdan oluşuyor ?
(2,2) , (3,3) , (5,5) durumları. Yani 3 durum bizim istediğimiz.
O halde
CEVAP = 3/6

Soru 6 : İki zar aynı anda havaya atılıyor.
Üst yüze gelen sayıların toplamı 7 den büyük olduğuna göre 9 olma olasılığı kaçtır?

Bu soru tipi için muazzam ve az bilinen bir yöntemim mevcut. Şöyleki :

2 zar atıldığında toplamları 1 gelemez.
2 zar atıldığında toplamlarının 2 geldiği tek 1 durum vardır.((1,1) durumu)
2 zar atıldığında toplamlarının 3 geldiği 2 durum vardır.
2 zar atıldığında toplamlarının 4 geldiği 3 durum vardır.
2 zar atıldığında toplamlarının 5 geldiği 4 durum vardır.
2 zar atıldığında toplamlarının 6 geldiği 5 durum vardır.
2 zar atıldığında toplamlarının 7 geldiği 6 durum vardır.
2 zar atıldığında toplamlarının 8 geldiği 5 durum vardır.
2 zar atıldığında toplamlarının 9 geldiği 4 durum vardır.
2 zar atıldığında toplamlarının 10 geldiği 3 durum vardır.
2 zar atıldığında toplamlarının 11 geldiği 2 durum vardır.
2 zar atıldığında toplamlarının 12 geldiği 1 durum vardır.

Tüm durumları toplarsanız 36 geldiğini göreceksiniz. (Zaten bildiğiniz gibi 2 zar atılında 36 durum gelebilir.)
Ama bize soruda toplamlarının 7'den büyük geldiği bilindiğine göre diyor.
Yani toplamları 8,9,10,11,12 sayılarından biri gelmiş olmalı.
Yukarıda gösterdiğim durum sayılarına bakarsanız
8,9,10,11,12 sayılarından birinin gelmiş olması durumu toplamda = 5+4+3+2+1 = 15 durum
Bizim istediğimiz toplamlarının 9 geldiği durum sayısı = 4

O halde CEVAP = 4/15

Forum	Başlık	Tarih
Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları	Olasılık ve İstatistik (3 Soru)	9 Mayıs 2020
Rasyonel ve Ondalıklı Sayılar, Üslü Sayılar, Köklü Sayılar, Mutlak Değer, Taban Aritmetiği	Rasyonel Sayılar - Olasılık (2 Soru)	3 Haziran 2019
Matematik - Geometri	Olasılık (2 Soru)	10 Mayıs 2018
Matematik - Geometri	Olasılık (2 Soru)	2 Şubat 2017
Matematik - Geometri	Olasılık - Geometri (2 Soru)	27 Ocak 2017

Giriş Yap & Kayıt Ol

Çözüldü Olasılık (6 Soru)

mine53 Yeni Üye

Honore Yönetici Yönetici

Emincan Yeni Üye

Sayfayı Paylaş

Giriş Yap & Kayıt Ol

Çözüldü Olasılık (6 Soru)

mine53 Yeni Üye

Honore Yönetici Yönetici

Emincan Yeni Üye

Sayfayı Paylaş

Faydalı Aramalar