Çözüldü Olasılık - Kombinasyon - Programlama

1, 2, 3, ... 15 sayılarından rastgele seçilen üçünün toplamının üçe tam bölünebilmesi olasılığı nedir? Cevap: 31 / 91

Sayın hocaamız Doç.Dr. Şamil Akçağıl'ın bir çözümü vardı ama maalesef imageshack.us sitesinden silinmiş.

Bu problem aslında 1'den 100'e kadar olan sayılar için aynı şekilde hazırlanmış bir olimpiyat sorusundan türetilmiş olmalı. Epey uğraşıp çözemeyince işi bilgisayara yıkmıştım ama aklıma takıldığından İngilizceye de çevirip arama yapınca problemin aslını ve çözümleri buldum.

https://math.stackexchange.com/questions/556924/probability-problem-on-divisibility-of-sum-by-3 sitesinde "Omnomnomnom" rumuzlu kullanıcının kombinasyon kullanarak yaptığı çözüm şöyle özetlenebilir:

Bu küme, 3 ile bölündüğünde 0, 1, 2 kalan sayılar 3 grup halinde ve her grupta 15 / 3 = 5 sayı olacak şekilde düşünülebilir.
0 kalanını veren sayılar x ≡ 0(mod 3) ⇒ x = {1, 4, 7, 10, 13}
1 kalanını veren sayılar y ≡ 1(mod 3) ⇒ y = {3, 6, 9, 12, 15}
2 kalanını veren sayılar z ≡ 2(mod 3) ⇒ z = {2, 5, 8, 11, 14}

5 elemanlı bu alt kümelerden 3 elemanın seçimi C(5, 3) sayıda yapılabilir. Hepsi bir kategoriden veya her kategoriden bir tane seçim olabileceği de dikkate alınırsa bu şekilde mümkün olabilecek durumların sayısı;
C(5, 3) + C(5, 3) + C(5, 3) + 5·5·5 = 3C(5, 3) + 125 = 30 + 125 = 155....(I)

Tüm durumlar için 15 elemanlı bir kümeden 3 tanesinin seçim sayısı;
C(15, 3) = 15! / [ 3!·(15 - 3)! ] = [ 12!·13·14·15 / (3!·12!) ] = 455....(II)

(I) değeri (II) ile bölünürse;
Olasılık: 155 / 455 = 31 / 91
---
Bilgisayarla Çözüm - 1
Ücretli bir yazılım olan Mathematica kullanılırsa (bende olmadığı için deneyemedim) aynı kaynaktaki 100 sayılık kümeye göre "wolfies" rumuzlu kullanıcının verdiği Mathematica komutunda 100 yerine 15 yazılıdığında;
Count[Map[Total, Subsets[Range[15],{3}]]/3, _Integer] / Binomial[15,3] gibi tek satırlık bir çözüm de olabiliyormuş.
---
Bilgisayarla Çözüm - 2
Bir Fortran programıyla da yapılabilir:

https://s19.postimg.org/ngix60ukj/olasilik_Fortran.png

Kod:

!1, 2, 3, ... 15 sayılarından rastgele seçilen üçünün toplamının
!üçe tam bölünebilmesi olasılığı nedir? Cevap: 31/91
program olasilik
implicit none
integer:: i,j,k,toplam=0,p=1,m
integer, allocatable, dimension(:) :: A,B,C
integer :: r=3,n=15
integer*8 fact1,fact2,fact3,tum_durumlar

open (unit = 1, file = "sayilar.txt")

fact1=factorial(n)
fact2=factorial(r)
fact3=factorial(n-r)

tum_durumlar=fact1/(fact2*fact3)

allocate (A(tum_durumlar),B(tum_durumlar),C(tum_durumlar))

do i=1,13
do j=i+1,14
  do k=j+1,15
  if ( (mod(i+j+k,3)==0).and.(i/=j).and.(i/=k).and.(j/=k) ) then
  A(toplam)=i
  B(toplam)=j
  C(toplam)=k
  write(1,5)p,i,j,k
  toplam=toplam+1
  p=p+1
  endif
  enddo
enddo 
enddo
write(1,*)
do m=1,toplam
  if ((mod(toplam,m)==0).and.(mod(tum_durumlar,m)==0)) then
  write(*,6)"olasilik = ",toplam/m," / ",tum_durumlar/m
  write(1,6)"olasilik = ",toplam/m," / ",tum_durumlar/m
  endif
enddo

write(6,7) "sayilar.txt dosyasina bakiniz."
 
deallocate(A,B,C)
close(1)
5 format (4(i3))
6 format (a,i3,a,i3)
7 format (a)

CONTAINS
  integer*8 function factorial(q)
  implicit none
  integer, intent(in) :: q
  integer*8 :: sonuc=1
  integer i

  do i=1,q
  sonuc=sonuc*i
  enddo

  factorial=sonuc
  sonuc=1

END function factorial

end program

Not: Programın çalıştırıldığı klasörde oluşan ve ekte verilen sayilar.txt dosyasında toplamları 3 ile bölünebilen bütün (155 tane) üçlü sayı kombinasyonları da görülebilir.