Çözüldü Olasılık - Modüler Aritmetik

Amerikan Matematik Yarışmaları 2021 Güz dönemi çözümlü sorularından biraz değişik TYT uyarlaması:

Altı hilesiz zarın atılmasıyla gelen sayıların çarpımı x ise x ≡ 0(Mod 4) olasılığı kaçtır?

A) 5 / 16
B) 17 / 32
C) 59 / 64
D) 61 / 128
E) 83 / 256

Gelen sayıların çarpımının 2 ile bölünmemesi için 3 tek sayı olan 1, 3, 5 gerekir ki 3 / 6 = 1 / 2 olasılığına göre bu durumda
(1 / 2)^6 = 1 / 64....(I)

Gelen sayıların 2 ile bölünmesi ama 4 ile bölünmemesi için 5 sayının tek ve birinin de bu şarta uygun bir çift sayı olması gerekir ki ancak 2 ve 6 uygundur.
O halde yine tek sayılar 1, 3, 5 olarak 1 / 2 olasılığına göre beşinin de tek olması için (1 / 2)^5,
4 ile bölünemeyen çift sayılar 2 ve 6 için olasılık 2 / 6 = 1 / 3,
6 sayıdan birinin 2 gelmesi C(6, 1) = 6 şekilde olabileceği için olasılık [ (1 / 2)^5 ]·(1 / 3)·6 = 1 / 16....(II)

Böylece gelen sayıların çarpımının 4 ile bölünmemesi olasılığı (I) ve (II) toplanarak 1 / 64 + 1 / 16 = 5 / 64
4 ile bölünme olasılığı ise 1 - 5 / 64 = 59 / 64.

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/olasil24.png
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2021_Fall_AMC_12B_Problems/Problem_11