Çözüldü Optimizasyon - Minimum Uzunluk

Sayın Emrullah Kaplan Hoca'dan çözümlü bir örnek:

Bir binanın dışında ve bu binaya 1 metre uzaklıkta olan bir duvarın yüksekliği 8 metredir. Bu binaya dayalı olan bir merdivenin diğer ucu yerdedir. Binanın dışındaki bu duvara da değen merdivenin uzunluğu en az kaç metre olabilir? (Cevap: √125)
(Lise Matematik-3, Emrullah Kaplan, Etkin Yayıncılık, 2001, Sayfa 191)

(Şeklin çizimi, ilgilenebilecek öğrenci üyelere bırakıldı.)

Merdivenin binaya değdiği nokta ile, binanın 1 metre dışındaki duvarın en üst noktası arasındaki uzaklık y,

Duvarın tabanı ile merdivenin yere değdiği nokta arasındaki uzaklık x,

olmak üzere ortaya çıkan ve dik kenarlarının uzunlukları y ile 1 ve 8 ile x olan iki dik üçgenin benzerliği nedeniyle y / 8 = 1 / x ⇒ y = 8 / x ve merdivenin uzunluğu da
[ (x + 1)^2 + (y + 8)^2 ][sup]0,5[/sup] = [ (x + 1)^2 + (8 / x + 8)^2 ][sup]0,5[/sup] yazılıp merdiven uzunluğunun karesi f(x) ise;

f(x) = [ (x + 1)^2 + (8 / x + 8)^2 ] olur (x > 0).

Merdivenin uzunluğunun en küçük değeri, f(x) ifadesinin en küçük değerinin kareköküdür.

f '(x) = 2(x + 1) + 2(8 / x + 8)(-8 / x^2) = 2x + 2 - 128 / x^2 - 128 / x^3

f ''(x) = 2 + 256 / x^3 + 384 / x^4

f '(x) = 0 ⇒ 2(x + 1) = (16 / x^2)(8 + 8 / x) ⇒ x^3(x + 1) = 64(x + 1) denklemi çözülürse x1 = -1 ve x2 = 4 bulunur ve f ''(4) > 0 olduğundan bu değer için f(x) minimum olup zaten x > 0 şartı nedeniyle de diğer kök uygun değildir.

O halde f(4) = (4 + 1)^2 + (8 / 4 + 8)^2 = 125 ve aranan uzunluk da √125 bulunur.