Çözüldü Parabol - Türev - Eşitsizlik - Üç Bilinmeyenli İkinci Derece Denklem Sistemi

https://i.ibb.co/ph4cgzW/Parabol.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi...m.2128772254167943&idorvanity=289690338076153
Daha Kolay Bir Çözüm: https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10161340181659588&set=p.10161340181659588&type=3

f '(x) = 2x + a = 0 ⇒ x = -a / 2 ⇒ f(-a / 2) = a^2 / 4 - a^2 / 2 + 5 > 15 / 4 ⇒ a < √5 olup şıklara göre a = 1 veya 2 olabilir,
a = 1 ⇒ f(x) = x^2 + x + 5 ve y = 15 / 4 doğrusu üzerinde birbirine dik teğetler m, b, c ∈ R olmak üzere,
y = m·x + b ve y = -x / m + c ise 15 / 4 = m·x + b ⇒ x = (15 - 4b) / (4m) apsisli noktada teğetler kesişeceğinden,
-[ (15 - 4b) / (4m) ] / m + c = 15 / 4 ⇒ 4b + 4m^2·c = 15m^2 + 15....(I)
y = m·x + b ve y = f(x) = x^2 + a·x + 5 kesiştirilince ortak denklem x^2 + (a - m)·x + 5 - b = 0 denkleminden teğetlik için tek kök olması gerektiğinden diskriminant yazılıp sıfıra eşitlenirse (a - m)^2 + 4b = 20....(II)
y = -x / m + c ve y = f(x) = x^2 + a·x + 5 kesiştirilince ortak denklem x^2 + (a + 1 / m)·x + 5 - c = 0 denkleminden teğetlik için tek kök olması gerektiğinden diskriminant yazılıp sıfıra eşitlenirse (a + 1 / m)^2 + 4c = 20....(III)
(I), (II), (III) eşitliklerinden oluşan denklem sisteminde a = 1 için çözüm yapıldığında b, c, m ∈ C yani hepsi sanal olduğundan,
https://www.wolframalpha.com/input?i=4b+4m^2*c=15m^2+15, (1+1/m)^2+4c=20, (1-m)^2+4b=20

a = 2 olması gerektiği görülür.

Not:
a = 2 için;
b1 = c1 = 15 / 4, m1 = 2 - √5
b2 = c2 = 15 / 4, m2 = 2 + √5
b3 = 4, c3 = 239 / 64, m3 = 4
https://www.wolframalpha.com/input?i=4b+4m^2*c=15m^2+15, (2+1/m)^2+4c=20, (2-m)^2+4b=20

Grafik:

https://i.ibb.co/qjBpq11/parabol34.png

Not: Grafikteki b1, c1, m1 ve b3, c3, m3 değerlerine ait doğruların kesişme noktaları (0, 15 / 4) ve (-1 / 16, 15 / 4) olup bunları bulmak zamanı olan ve meraklı öğrencilere ödev.