Çözüldü Parabole Asal Ekseninde Teğet Çember-Kapalı Türev (Implicit Differentiation)-2. Derece Denklem

Konusu 'Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral' forumundadır ve Honore tarafından 20 Nisan 2024 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    10.005
    Beğenileri:
    657
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    İTÜ 1958 - 1959 Giriş Sınavı sorularından birinin fen lisesi için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

    y^2 = x·√12 parabolüne herhangi bir noktasında ve odağında teğet olan çemberin alanı kaç birim karedir?

    Asal ekseni x ekseni olan parabolün genel denklemi y^2 = 2p·x....(I) ve odağı F(p / 2, 0) olduğundan r yarıçaplı bir çemberin parabole odağındaki teğetliği durumunda denklemi (x - p / 2)^2 + (y - r)^2 = r^2....(II) olup türevler alınırsa,
    2y·y' = 2p ⇒ y' = p / y....(III)
    2(x - p / 2) + 2(y - r)·y' = 0 ⇒ y' = (p / 2 - x) / (y - r)....(IV)
    (III) ve (IV) denklemlerinden r = x·y / p + y / 2....(V)
    (II) eşitliğinden x^2 - p·x + p^2 / 4 + y^2 - 2y·r = 0....(VI)
    (I) ve (V) eşitlikleri (VI)'da kullanılıp x^2 - p·x + p^2 / 4 + 2p·x - 2y(x·y / p + y / 2) = 0 ve sadeleştirildiğinde,
    x^2 + p^2 / 4 + p·x - 2x·y^2 / p - y^2 = 0....(VII)
    Yine (I) eşitliği (VII)'deki yerlerine yazılarak x^2 + p^2 / 4 + p·x - 2x·2p·x / p - 2p·x = 0 denkleminden,
    3x^2 + p·x - p^2 / 4 = 0 denkleminden x1 = -p / 2 V x2 = p / 6
    y^2 = x·√12 ve y^2 = 2p·x karşılaştırılınca p = √3 ve böylece x = √3 / 6....(VIII) ayrıca y^2 = 2√3·(√3 / 6) = 1 ⇒ y = 1....(IX)
    (VIII) ve (IX) değerleri (V) eşitliğine götürüldüğünde r = (√3 / 6)·1 / √3 + 1 / 2 = 1 / 6 + 1 / 2 = 4 / 6 = 2 / 3....(X)
    (X) değerine göre çemberin alanı π·(2 / 3)^2 = 4π / 9 birim^2.

    Grafik:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/L86h4c1/Parabol-ember.png
    https://www.wolframalpha.com/input?i=plot y^2=x*sqrt(12), (x-sqrt(3)/2)^2+(y-2/3)^2=4/9,x=0,y=0

    Kaynak: "Modern Geometri Problemleri (Konikler)", Ahmet Erdem, 1968, Kutulmuş Matbaası, Problem 12, Sayfa 13 - 15

  2. Benzer Konular: Parabole Ekseninde
    Forum Başlık Tarih
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Parabole Ordinat Ekseninden Çizilen Dik Teğetler - İkinci Derece denklemde Diskriminant 7 Nisan 2021
    Hatalı - Tekrarlanmış Sorular veya Çözümler (Faulty - Repeated Questions or Solutions) Parabole Dışındaki "Herhangi Bir Nokta"dan Çizilen Dik Teğetler (Nokta belirsizliğinden hatalı) 25 Aralık 2020
    Matematik - Geometri Parabole Çizilen Teğetlerin Eğimleri Çarpımı 21 Nisan 2020
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Doğrunun Parabole En Yakın Noktası 8 Mayıs 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Parabole Orijinden Çizilen Teğetler 21 Aralık 2015

Sayfayı Paylaş