Çözüldü Sabit Katsayılı İkinci Mertebe Lineer Diferansiyel Denklem Çözümleri

University of Toronto - CA'dan İntegrasyon Faktörü ile Çözüm:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/utoron24.png
https://www.math.toronto.edu/selick/B44.pdf
[Sayfa 17 (pdf dosyada 23), Örnek 2.16]

Belirsiz Katsayılar Yöntemi ile Çözüm:
Karakteristik Denklem: r^2 - 2 = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = 2
Homojen Çözüm: yh = C1·e^(0·x) + C2·e^(2x) = C1 + C2·e^(2x)
İkinci Taraflı Özel (particular) Çözüm: 5 = 5x^0 ve 0 karakteristik denklemin de bir basit kökü olduğundan yp = A·x şeklinde olup,
y' = A ve y'' = 0 türev fonksiyonlarına göre 0 - 2A = 5 ⇒ A = -5 / 2 ⇒ yp = -5x / 2
Genel Çözüm: yh + yp = y = C1 + C2·e^(2x) - 5x / 2.

Lagrange Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) ile Çözüm:
Homojen Çözüm kullanılarak y'= C1' + C2'·e^(2x) + 2C2·e^(2x) ve buradan C1' + C2'·e^(2x) = 0....(I)
y'' = 2C2'·e^(2x) + 4C2·e^(2x)
[ 2C2'·e^(2x) + 4C2·e^(2x) ] - 2·2C2·e^(2x) = 5
2C2'·e^(2x) = 5....(II)
D, E ∈ R
(I) eşitliğinden C2'·e^(2x) = -C1' yazılıp (II) denkleminde kullanılınca -2C1' = 5 ⇒ C1' = -5 / 2 ⇒ C1 = -5x / 2 + D....(III)
C2' = (5 / 2)·e^(-2x) ⇒ C2 = (-5 / 4)·e^(-2x) + E....(IV)
(III) ve (IV) eşitlikleri homojen çözümdeki yerlerine taşındığında genel çözüm;
y = (-5x / 2 + D) + [ (-5 / 4)·e^(-2x) + E ]·e^(2x)
y = -5x / 2 + D - 5 / 4 + E·e^(2x)
y = -5x / 2 + E·e^(2x) + (D - 5 / 4)
c1 = D - 5 / 4 ve c2 = E katsayılarıyla y = c1 + c2·e^(2x) - 5x / 2.