Çözüldü Sayılar, Bölme ve Bölünebilme, Taban Aritmetiği (10 Soru)

Bildiğim ve yapabidliğim kadarıyla yardımcı olmaya çalışayım. Hatalar varsa veya kısa çözümler için sayın hocalarımızdan zamanı olanlar veya diğer ilgilenebilecek üyeler açıklama yaparlarsa ben de öğrenmiş olurum.
1. Soru:
x,y,z birbirinden farklı rakamlar ve 166m dört basamaklı bir doğal sayı olmak üzere xyz + yzx + zxy = 166m toplama işlemini sağlayan üç basamaklı en küçük xyz doğal sayısı kaçtır?

0 ≤ m ≤ 9 varsayımıyla 166m sayısı 1660 + m olarak yazılır.

1660 + m = xyz + yzx + zxy
1660 + m = 100x + 10y + z + 100y + 10z + x + 100z + 10x + y
1660 + m = 100(x + y + z) + 10(x + y + z) + x + y + z
1660 + m = 111(x + y + z)

m = 111(x + y + z) - 1660 eşitliği nedeniyle m ≠ 0 yani 0 < m ≤ 9 olduğu görülür ve bunu sağlamak üzere x + y + z = 15 olabileceği anlaşılır çünkü sadece bu değer için ilgili eşitisizlik aralığında m = 111·15 - 1660 = 5 bulunmaktadır.

Bu durumda en küçük xyz için x = 1 alınarak,
x---y---z
1---5---9
1---6---8
1---7---7
...

şeklinde sayılar oluşturulabilir. Aranan en küçük xyz sayısı 159 olmalı.
---
2. Soru:
Üç basamaklı abc doğal sayısı iki basamaklı ab doğal sayısından 481 fazla ise a + b + c kaçtır?

100a + 10b + c = 10a + b + 481
90a + 9b + c = 481 eşitliğinin sağlanabilmesi için;

a = 5
b = 3
c = 4 olması gerekir. O halde a + b + c = 5 + 3 + 4 = 12 buluyorum.
---
3. Soru:
a ve b rakam, c ve 4 sayı tabanı ise;
(c tabanında ab) + (c tabanında ba) = (4 tabanında 301)
a + b = 7 olduğuna göre c kaçtır?

a·c^1 + b·c^0 + b·c^1 + a·c^0 = 3·4^2 + 0·4^1 + 1·4^0

a·c + b + b·c + a = 49

c(a + b) + a + b = 49

(a + b)(c + 1) = 49

49 = 7·7 ⇒ a + b = 7 ve c + 1 = 7 olup c = 6

49 = 1·49 ⇒ a + b = 1 ve c + 1 = 49 eşitlikleri kurulabilir ancak a veya b rakamlarının sıfırdan farklı olmaları nedeniyle bu durum kabul edilemez.

49 = 49·1 ⇒ a + b = 49 ve c + 1 = 1 eşitlikleri kurulabilir ancak a veya b rakamlarının toplamlarının 49 olamaması ve c tabanı da 0 olamayacağından bu durum da kabul edilemez.

O halde c = 6 olmalı.
---
4. Soru:
Dört basamaklı 45ab sayısı 45'e bölündüğünde 1 kalanını veren bir çift sayı ise a + b = ?

b = {0, 2, 4, 6, 8} olabilir ve bölme işlemindeki 1 kalanı için b = 6 alınır ve a = 4 olması gerektiği anlaşılır.

O halde a + b = 4 + 6 = 10 olmalı. [4546 ≡ 1 mod(45) ⇒ 4546 = 45·101 + 1]
---
5. Soru:
1! + 3! + 5! + ... + 23! toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

1! + 3! + 5!(1 + 6·7 + ... + 6·7·...·23) ≡ x(mod 5)
7 + 5!(1 + 6·7 + ... + 6·7·...·23) ≡ x(mod 5)

İkinci terim 5 ile kalansız bölünebildiği için sade e7 için kontrol edilirse 7 ≡ 2(mod 5) olarak x = 2 bulunur.

WolframAlpha Kontrolu:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=mod(1!+3!+5!+...+23!, 5)
---
6. Soru:
(6^x)·10 çarpımının pozitif tam bölümlerinin sayısı 40 olduğuna göre 15^x sayısının kaç tane pozitif tam böleni vardır?

(6^x)·10 = (2^x)·(3^x)·2^1·5^1 = [ 2^(x + 1) ]·(3^x)·5^1 şeklinde yazılırsa

(x + 1 + 1)·(x + 1)·(1 + 1) = 40

(x + 2)(x + 1) = 20

x^2 + 3x - 18 = 0

(x - 3)(x + 6) = 0 ve x > 0 nedeniyle x = 3 alınır ve 15^3 = (3^3)·(5^3) olarak yazılıp (3 + 1)(3 + 1) = 4·4 = 16 bulunur.
---
7. Soru:
32! sayısının 93 ile bölümünden kalan kaçtır?

93 = 3·31 olduğundan ve 32! içinde çarpan olarak hem 3 hem de 31 bulunduğundan 32! ≡ 0(mod 93) yani kalan 0 olmalı.

WolframAlpha Kontrolu:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=mod(32!, 93)
---
8. Soru:
1400 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?

Bir A sayısı A = (a^p)·(b^r)·(c^s) şeklinde farklı asal çarpanlarının çarpımı halinde yazılınca A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı = -(a + b + c) imiş.

O halde,

1400 = 14·100 = (2^1)·(7^1)·(2^2)·(5^2) = (2^3)·(5^2)·7^1 olup yukarıdaki formüle göre -(2 + 5 + 7) = -14 olmalı.

Kaynak:
http://www.matematiktutkusu.com/for...mayan-tam-sayi-bolenleri-toplami-formulu.html
---
9. Soru:
4^8 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı kaçtır?

4^8 = 2^16 şeklinde yazılırsa positif tam sayı bölenler:

2^0
2^1
2^2
...
2^16 olacağından çarpımları da 1·(2^1)·(2^2)· ... ·(2^16) = 1·2·4·8·16· ... · 65536 = 2^(1 + 2 + ... + 16) = 2^(16·17/2) = 2^(8·17) = 2^136 olmalı.

WolframAlpha Kontrolu:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1*2*4*8*16*...*65536=2^136
---
10. Soru:
32! sayısı 3 tabanında yazılırsa sondan kaç basamağı sıfır olur?

32! içinde 3'ün katı olarak 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 çarpanları olup bunlardan toplam 1+1+2+1+1+2+1+1+3+1 = 14 tane 3 çarpımı yani 3^14 oluştuğu için 32! = x·(3^14) şeklinde yazılıp sağ taraftaki 3^14 sayısı 3 tabanına göre düşünüldüğünde

1 000 000 000 000 00 olduğundan sonunda 14 tane 0 olmalı.

WolframAlpha kontrolu:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3^14 base 3

Benzer problem:
http://www.matematiktutkusu.com/forum/9-sinif-matematik-sorulari/8794-faktoriyel.html