Çözüldü Statikte Kuvvet Dengesi - Kareköklü Sayılar - Üç Bilinmeyenli Denklem

Bir kitaptaki çözümlü problemin fen lisesi için SI Birimler Sisteminde klasik sınav uyarlaması:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/balon11.png
https://engineeringstatics.org/pdf/statics.pdf
[Sayfa 98 - 100 (pdf dosyada 101 - 103), Örnek 3.5.3]

Yukarı doğru dokuz yüz Newton'luk kaldırma kuvveti altında olan şekildeki sıcak hava balonu, sabit durması için A, B, C halatlarıyla birim uzunlukları onar metre olan karesel bölmelerden oluşan bir yer platformuna bağlandığına göre halatlardaki çekme kuvvetlerinin toplamı kaç Newton'dur? (Sonuç kareköklü sayılarla gösterilecek.)

D noktasından geçen y ekseni üzerindeki düşey doğrultunun x ve z eksenlerinin orijiniyle kesişme noktası: O
Gerilme kuvvetlerini de gösteren A, B, C halatlarıyla D noktasındaki düşey doğrultu arasındaki açılar sırasıyla: θ, β, φ
Halat uzunlukları: LA, LB, LC
LA uzunluğunun x ekseni üzerindeki izdüşümü: Ax
LB uzunluğunun x ve y eksenleri üzerindeki izdüşümleri: Bx, By
LC uzunluğunun z ekseni üzerindeki izdüşümü: Cz
sin(θ) = -20 / LA ve Ax = A·sin(θ) eşitliklerinden Ax = A·(-20 / LA) = (-20 / LA)·A

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/balon110.png


https://i.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/balon211.png


https://i.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/balon310.png


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/balon410.png


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/balon510.png


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/balon610.png

Halat kuvvetlerinin bu şekilde açılara bağlı olan diğer bileşenleri yukarıdaki gibi yazılıp Pisagor Teoremi gereğince LA, LB, LC uzunlukları da sırasıyla 10·√13 metre, 10·√22 metre, 10·√13 metre olur,
Eksenler üzerindeki kuvvetlerin denge denklemleri;
x Ekseni için: [ -20 / (10·√13) ]·A + [ 30 / (10·√22) ]·B + 0·C = 0 ⇒ A = [ (3 / 2)·√13 / √22 ]·B....(I)
z Ekseni için: 0·A + [ 20 / (10·√22) ]·B - [ 20 / (10·√13) ]·C = 0 ⇒ C = (√13 / √22)·B....(II)
y Ekseni için: [ -30 / (10·√13) ]·A - [ 30 / (10·√22) ]·B - [ -30 / (10·√13) ]·C + 900 = 0 ⇒ -A / √13 - B / √22 - C / √13 + 300 = 0...(III)
(I) ve (II) eşitlikleri (III) denklemindeki yerlerine konulup sadeleştirilerek düzenlenirse;
3B + 2B + 2B = 600·√22 ⇒ B = (600 / 7)·√22 Newton....(IV), (600 / 7)·√22 ≈ 402
(IV) değeri (I) ve (II)'de kullanılarak,
A = (900 / 7)·√13 Newton....(V), (900 / 7)·√13 ≈ 464
C = (600 / 7)·√13 Newton....(VI), (600 / 7)·√13 ≈ 309
(V), (IV), (VI) toplanıp A + B + C = (900 / 7)·√13 + (600 / 7)·√22 + (600 / 7)·√13 = (300 / 7)·(5·√13 + 2·√22) Newton.