Çözüldü Ters Trigonometrik Fonksiyon İntegrali

Honore · 22 Ekim 2016

y = arccosx fonksiyonu ile eksenler arasındaki alan kaç birimdir?
(Not: Soru ve 1. Çözüm imageshack.us'den silindiği için 2. Çözüme bakılarak yazılmıştır.)

Çözüm - 1:
x = 0 ⇒ y = arccos(0) = π / 2
x = 1 ⇒ y = arccos(1) = 0
$\int_{0}^{1}\arccos{x}dx=?$
$k=\arccos{x} \Rightarrow dk=\frac{-dx}{\sqrt{1-x^2}}$
$x_1=0 \Rightarrow k_1=\frac{\pi}{2}$
$x_2=1 \Rightarrow k_2=0$
$\int_{0}^{1}\arccos{x}dx=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}k\cdot\sqrt{1-\cos^2{k}}\text{ }dk=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}k\cdot\sin{k}\text{ }dk$
$k=u \Rightarrow dk=du$
$\sin{k}dk=dv \Rightarrow v=-\cos{k} \text{ ve kismi integrasyonla;}$
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}k\cdot\sin{k}\text{ }dk=\left|-k\cdot\cos{k}-\int (-\cos{k})dk\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{\pi}{2}\cdot 0+1-(0+0)={\color{Blue} 1}$

Çözüm - 2:
Sayın Cem Hocamız'ın maalesef imageshack.us sitesinden silinmiş çözümü özellikle hız yönünden de büyük avantaj sağladığı için şöyle göstermeye çalıştım;
y = arccosx ⇒ x = cosy
Grafik 90 derece sola döndürülürse alt sınır -π / 2 ve üst sınır da 0 olacağından ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot x=cos(y) )
∫cosy dy (-π / 2'den 0'a) = siny (-π / 2'den 0'a) = [ sin0 - sin(-π / 2) ] = [ 0 + sin(π / 2) ] = 0 + 1 = 1

WolframAlpha grafiği ve çözümü:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate cosydy from y =-pi/2 to y =0

Forum	Başlık	Tarih
Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral	İntegralde Trigonometrik Dönüşüm - Ters Sinüs Hiperbolik Fonksiyon	2 Temmuz 2019
Matematik - Geometri	Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ve Özdeşlikler	1 Haziran 2019
Matematik - Geometri	Ters Trigonometrik Fonksiyon ve Özdeşlikler	29 Mayıs 2019
Matematik - Geometri	Trigonometrik Özdeşlikler - Ters Trigonometrik Fonksiyonlar	18 Mayıs 2019
Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol	Ters Trigonometrik Fonksiyonlar - Trigonometrik Özdeşlikler	14 Mayıs 2019

Giriş Yap & Kayıt Ol

Çözüldü Ters Trigonometrik Fonksiyon İntegrali

Honore Yönetici

Sayfayı Paylaş

Giriş Yap & Kayıt Ol

Çözüldü Ters Trigonometrik Fonksiyon İntegrali

Honore Yönetici

Sayfayı Paylaş

Faydalı Aramalar