Çözüldü Tersi Kendisine Eşit Fonksiyonlar (2 Soru)

Konusu 'Mantık,Kümeler,Bağıntı ve Fonksiyon,İşlem ve Moduler Aritmetik' forumundadır ve Honore tarafından 20 Ekim 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.656
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Uygun koşullarda tanımlı f(x) = (3x - 1) / (2x + a - 2) fonksiyonu için f(x) = f^(-1)(x) ise a = ?
    https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.ne...=552a2f23f9d25a9e3073dee3236d9bce&oe=5C8A9252
    https://www.facebook.com/groups/349475378818080/permalink/554885571610392/

    Test Çözümü:
    Tersi kendisine eşit olan fonksiyonlar I. açıortaya yani y = x doğrusuna göre simetrik olduğundan a - 2 = -3 ⇒ a = -1

    Klasik Cebirsel Çözüm:
    f(x) = (3x - 1) / (2x + a - 2)
    2x·f(x) + a·f(x) - 2f(x) = 3x - 1
    [ 2f(x) - 3 ]·x = 2f(x) - a·f(x) - 1
    x = [ 2f(x) - a·f(x) - 1 ] / [ 2f(x) - 3 ]
    f^(-1)(x) = (2x - ax - 1) / (2x - 3)....(I)
    f(x) = f^(-1)(x) şartı için problemde verilen fonksiyon (I) ifadesiyle eşitlenirse;
    (3x - 1) / (2x + a - 2) = (2x - ax - 1) / (2x - 3)
    (3x - 1)(2x - 3) = (2x + a - 2)·[ (2 - a)x - 1 ]
    6x^2 - ... = 2(2 - a)x^2 - ...
    6 = 4 - 2a
    2 = -2a
    -1 = a

    WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse of (3x-1)/(2x-3)
    ---
    f(x) = mx - 3 ve g(x) = -2x + n fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetrik ise n = ?
    https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.ne...=6855ff97173f9d80088d78babaee91e6&oe=5C51BE1E

    Cebirsel Çözüm:
    I. açıortay olan y = x doğrusuna göre simetrik fonksiyonların tersleri kendilerine eşit olduğundan;
    3 + f(x) = mx ⇒ x = [ f(x) + 3 ] / m ⇒ f^(-1)(x) = (x + 3) / m olup g(x) ile eşitlenirse;
    (x + 3) / m = -2x + n
    x + 3 = -2mx + m·n ve Belirsiz Katsayılar (Undetermined Coefficients) Kuralı gereğince;
    -2m = 1 ⇒ m = -1 / 2
    3 = m·n ⇒ 3 = (-1 / 2)·n ⇒ n = -6.

    Analitik Geometri Çözümü:
    Simetri nedeniyle iki doğrunun, eğimi 1 olan (yani x ekseniyle pozitif yönde 45 derecelik açıda olan) y = x doğrusuyla yaptıkları açılar eşit olacağından;
    (-2 - 1) / [ 1 + (-2)·1 ] = (1 - m) / (1 + 1·m) ⇒ 3 = (1 - m) / (m + 1) ⇒ 3m + 3 = 1 - m ⇒ 4m = -2 ⇒ m = -1 / 2 ve f(x) = -x / 2 - 3 olur.
    Kesim noktasının apsisi (simetri nedeniyle ordinata da eşit); y = x ve f(x) = y = -x / 2 - 3 kesiştirilirse x = -x / 2 - 3 ⇒ x = - 2 = y olup A(-2, -2) noktasından g(x) doğrusu da geçtiğinden;
    -2 = -2(-2) + n
    -6 = n

    Grafik:
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/eP0vLf/Tersi-Kendisine-Esit-Fonksiyonlar.png

  2. Benzer Konular: Tersi Kendisine
    Forum Başlık Tarih
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Karmaşık Sayıların Tersinde Argüman 20 Ağustos 2018
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Parçalı Fonksiyonun Tersinin Limiti 8 Mart 2018
    Toplam ve Çarpım Sembolü,Diziler ve Seriler,Matris ve Determinant 3x3 Kare Matrisin Tersi? 19 Mayıs 2011

Sayfayı Paylaş