Trigonometri - Geometrik Seri (Orijinal çözümde hata yok mu?)

Konusu 'Hatalı veya Tekrarlanmış Sorular' forumundadır ve Honore tarafından 2 Eylül 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.554
    Beğenileri:
    392
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Darthmouth College'dan hatalı çözüldüğünü düşündüğüm bir problem ():
    (Sınavda ilgili şeklin çiziminin öğrencilere bırakılması önerilir. Orijinal çözümün doğruluğunu gösterebilecek hayırsevere şimdiden çok teşekkürler)

    Küçük dik kenar uzunluğu sabit ve b olmak üzere ACB dik üçgeninde dik açının olduğu köşeden hipotenüse indirilen dikmenin ayağından büyük dik kenara çizilen dikmeyle o kenarın kesim noktasından tekrar hipotenüse ait yükseklik oluşturularak çizimler sonsuz sayıda tekrarlandığında bütün dikmelerin toplamı b ve A açısı cinsinden nedir?

    [AB]: Hipotenüs çünkü sorudaki üçgen tanımı ACB olarak verildiğinden bu üçlüde ortadaki harf (C) dik açının olduğu köşedir.
    BAC = A = θ < 90°
    C noktasından [AB]'ye inilen dikmenin ayağı: D
    DCA = 90° - θ ⇒ DCE = 90° - (90° - θ) = θ
    |AC| = b
    |CD| = L1
    ADC dik üçgeninde sinθ = L1 / b ⇒ L1 = b·sinθ
    D noktasından [BC]'ye inilen dikmenin ayağı: E
    |DE| = L2
    sin(DCE) = L2 / L1
    sinθ = L2 / L1 ⇒ L2 = L1·sinθ = (b·sinθ)·sinθ = b·[ (sinθ)^2 ]
    ...
    Ln = b·[ (sinθ)^n ]
    L1 + L2 + ... + Ln = b·sinθ + b·[ (sinθ)^2 ] + ... + b·[ (sinθ)^n ]
    ΣL = b[ sinθ + (sinθ)^2 + ... + (sinθ)^n ] ifadesindeki köşeli parantezler arasındaki ikinci çarpan, ilk terimi sinθ, ortak çarpanı sinθ < 1 olan n adet terimden oluşan bir geometrik seri olduğundan, n → ∞ için ΣL;
    ΣL = f(θ) = b[ sinθ / (1 - sinθ) ] = (b·sinθ) / (1 - sinθ) olmalıdır.

    Sorunun aslına ait orijinal çözümde;
    Sonuçta paydadaki parantez içinde ikinci terim sinθ yerine hatalı olarak 1 / sinθ yazıldığından ΣL = b[ (sinθ)^2 ] / (sinθ - 1) olmuştur ama sinθ < 1 olduğundan ΣL < 0 olur ki hepsi pozitif olan bir dizideki terimlerin toplamının negatif olması mümkün değildir.

    Sorunun Aslı ve Çözümü:
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/dartmo11.png
    https://math.dartmouth.edu/~m8s19/HW/HW1/HW1-A-solns.pdf
    (Son soru)

  2. Benzer Konular: Trigonometri Geometrik
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Cebirsel ve Trigonometrik Özdeşlikler - Çarpanlara Ayırma Pazar 21:26
    Analitik Geometri Ve Uzay Geometrisi Analitik Düzlemde Dönüşüm - Trigonometri - Noktanın Analitiği Perşembe 17:45
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik İntegralde Özdeşlik ve İndirgeme Formülü (YKS 2020'de yok) Perşembe 12:54
    Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik Üçgende Alan - Trigonometri 9 Eylül 2019
    Matematik - Geometri Üçgende Açı - Trigonometri 7 Eylül 2019

Sayfayı Paylaş