Çözüldü Trigonometrik Denklem Çözümünde Özdeşliklerin Kullanımı

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve Honore tarafından 3 Kasım 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.656
    Beğenileri:
    354
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [ sin(2x) ]^2 + [ sin(3x) ]^2 + [ sin(5x) ]^2 = 2 denkleminin [0, π] aralığında kaç farklı kökü vardır?
    A) 4
    B) 5
    C) 7
    D) 9
    E) 10

    https://scontent-frt3-2.xx.fbcdn.ne...=b9314ffe8d565908ec62e1c8771007e4&oe=5C43867D
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2252903631447527&set=gm.2224757314426133&type=3&theater

    Birinci dereceye indirgeme için cos2a = 1 - 2(sina)^2 özdeşliği kullanılırsa;
    cos4x + cos6x + cos10x + 1 = 0....(I)
    Ayrıca cos4a = 2(cosa)^2 - 1 özdeşliğiyle cos4x = 2(cos2x)^2 - 1....(II)
    cos6x + cos10x = 2(cos8x)(cos2x)....(III)
    (II) ve (III) eşitlikleri (I)'de yerlerine konursa;
    2(cos2x)^2 - 1 + 2(cos8x)(cos2x) - 1 = 0
    (cos2x)(cos2x + cos8x) = 0
    (cos2x)[ 2(cos5x)(cos3x) ] = 0
    (cos2x)(cos3x)(cos5x) = 0
    k ∈ N olmak üzere;
    cos2x = 0 = cos(π / 2) ⇒ 2x = ∓π / 2 + 2k·π ⇒ x = ∓π / 4 + k·π ve x1 = π / 4, x2 = 3π / 4
    cos3x = 0 = cos(π / 2) ⇒ 3x = ∓π / 2 + 2k·π ⇒ x = ∓π / 6 + 2k·π / 3 ve x3 = π / 6, x4 = 5π / 6
    cos5x = 0 = cos(π / 2) ⇒ 5x = ∓π / 2 + 2k·π ⇒ x = ∓π / 10 + 2k·π / 5 ve x5 = π / 10, x6 = π / 2, x7 = 9π / 10
    Doğru yanıt: C (7 tane)

    Köklerin denklemi sağladığına ilişkin WolframAlpha kontrolu:

    x = 9π / 10 için https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sin(2*9pi/10))^2+(sin(3*9pi/10))^2+(sin(5*9pi/10))^2=
    x = π / 2 için https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sin(2*pi/2))^2+(sin(3*pi/2))^2+(sin(5*pi/2))^2=
    x = π / 10 için https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sin(2*pi/10))^2+(sin(3*pi/10))^2+(sin(5*pi/10))^2=
    x = 5π / 6 için https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sin(2*5pi/6))^2+(sin(3*5pi/6))^2+(sin(5*5pi/6))^2=
    x = π / 6 için https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sin(2*pi/6))^2+(sin(3*pi/6))^2+(sin(5*pi/6))^2=
    x = 3π / 4 için https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sin(2*3pi/4))^2+(sin(3*3pi/4))^2+(sin(5*3pi/4))^2=
    x = π / 4 için https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sin(2*pi/4))^2+(sin(3*pi/4))^2+(sin(5*pi/4))^2=

  2. Benzer Konular: Trigonometrik Denklem
    Forum Başlık Tarih
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol İkinci Derece Trigonometrik Denklem 11 Kasım 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Ters Trigonometrik Fonksiyonlu Denklem 29 Eylül 2018
    Matematik - Geometri Trigonometrik Özdeşliklerle Çözülebilen Denklemler 24 Temmuz 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklem Sistemlerinin Grafikle Çözümü 30 Haziran 2018
    Matematik - Geometri Ters Trigonometrik Fonksiyonlar - Açılım Özdeşlikleri - Denklemler 28 Haziran 2018

Sayfayı Paylaş