Çözüldü Trigonometrik Denklem

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve Honore tarafından 3 Ocak 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    1.311
    Beğenileri:
    226
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    2cos2x - sin2x + 1 = 0 denkleminin (0, 2π) aralığında kaç kökü vardır?

    Sayın hocamız Doç.Dr. Şamil Akçağıl'ın söylediği "tana = 2" dönüşümüyle:

    (sina / cosa)·cos2x - sin2x = -1
    sin(a - 2x) = -cosa = sin(3π / 2 + a) ⇒ a - 2x = 3π / 2 + a + k·2πx = -3π / 4 - k·π
    k1 = -1 ⇒ x1 = π / 4 (= 45°)
    k2 = -2 ⇒ x2 = 5π / 4 (= 225°)

    Ayrıca;
    cos2x = (cosx)^2 – (sinx)^2 = (cosx – sinx)(cosx + sinx)
    1 = (sinx)^2 + (cosx)^2 özdeşlikleri denklemde yerlerine yazılıp düzenlenirse;
    2(cosx – sinx)(cosx + sinx) + (cosx – sinx)^2 = 0
    (cosx – sinx)[ 2(cosx + sinx) + (cosx – sinx) ] = 0
    (cosx – sinx)(3cosx + sinx) = 0
    cosx – sinx = 0 ⇒ tanx = 1 ⇒ x1 = π / 4 + 0·π = π / 4 (= 45°)
    x2 = π / 4 + 1·π = 5π / 4 (= 225°)
    3cosx + sinx = 0 ⇒ tanx = -3 ⇒ x3 = – arctan3 + 1·π (≈ 108,435°)
    x4 = – arctan3 + 2·π (≈ 288,435°)
    ---
    Not: 3. kökün (aynı şekilde 4. kökün de) doğruluğu şöyle kontrol edilebilir;

    2cos2(π – arctan3) – sin2(π – arctan3) + 1 =
    2cos(2π – 2arctan3) – sin(2π – 2arctan3) + 1=
    2cos(2arctan3) + sin(2arctan3) + 1 =
    4[ cos(arctan3) ]^2 – 2 + 2sin(arctan3)·cos(arctan3) + 1 =
    4[ cos(arctan3) ]^2 + 2sin(arctan3)·cos(arctan3) – 1 ...(I)

    Tanjantı 3 olacak şekilde bir dik üçgen çizilirse;
    sin(arctan3) = 3 / √10
    cos(arctan3) = 1 / √10
    olacağından bu değerler (I) eşitliğinde yerlerine yazıldığında (4 / 10) + (6 / 10) – 1 = 0 çıkarak denklemi sağlamaktadır.

    WolframAlpha Kontrolu:
    [​IMG]
    https://s19.postimg.org/riufata83/wa2.png
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=2cos(2x)-sin(2x)+1=0, 0<=x<=2pi
     

  2. Benzer Konular: Trigonometrik Denklem
    Forum Başlık Tarih
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklemde Grafik Çözümü 28 Aralık 2016
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklemler (2 Soru) 23 Aralık 2016
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklem 30 Ekim 2016
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklem 2 Ekim 2016
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Ters Trigonometrik Fonksiyonlu Denklem 27 Eylül 2016

Sayfayı Paylaş