Çözüldü Trigonometrik Denklem

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve Honore tarafından 3 Ocak 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    1.508
    Beğenileri:
    240
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    2cos2x - sin2x + 1 = 0 denkleminin (0, 2π) aralığında kaç kökü vardır?

    Sayın hocamız Doç.Dr. Şamil Akçağıl'ın söylediği "tana = 2" dönüşümüyle:

    (sina / cosa)·cos2x - sin2x = -1
    sin(a - 2x) = -cosa = sin(3π / 2 + a) ⇒ a - 2x = 3π / 2 + a + k·2πx = -3π / 4 - k·π
    k1 = -1 ⇒ x1 = π / 4 (= 45°)
    k2 = -2 ⇒ x2 = 5π / 4 (= 225°)

    Ayrıca;
    cos2x = (cosx)^2 – (sinx)^2 = (cosx – sinx)(cosx + sinx)
    1 = (sinx)^2 + (cosx)^2 özdeşlikleri denklemde yerlerine yazılıp düzenlenirse;
    2(cosx – sinx)(cosx + sinx) + (cosx – sinx)^2 = 0
    (cosx – sinx)[ 2(cosx + sinx) + (cosx – sinx) ] = 0
    (cosx – sinx)(3cosx + sinx) = 0
    cosx – sinx = 0 ⇒ tanx = 1 ⇒ x1 = π / 4 + 0·π = π / 4 (= 45°)
    x2 = π / 4 + 1·π = 5π / 4 (= 225°)
    3cosx + sinx = 0 ⇒ tanx = -3 ⇒ x3 = – arctan3 + 1·π (≈ 108,435°)
    x4 = – arctan3 + 2·π (≈ 288,435°)
    ---
    Not: 3. kökün (aynı şekilde 4. kökün de) doğruluğu şöyle kontrol edilebilir;

    2cos2(π – arctan3) – sin2(π – arctan3) + 1 =
    2cos(2π – 2arctan3) – sin(2π – 2arctan3) + 1=
    2cos(2arctan3) + sin(2arctan3) + 1 =
    4[ cos(arctan3) ]^2 – 2 + 2sin(arctan3)·cos(arctan3) + 1 =
    4[ cos(arctan3) ]^2 + 2sin(arctan3)·cos(arctan3) – 1 ...(I)

    Tanjantı 3 olacak şekilde bir dik üçgen çizilirse;
    sin(arctan3) = 3 / √10
    cos(arctan3) = 1 / √10
    olacağından bu değerler (I) eşitliğinde yerlerine yazıldığında (4 / 10) + (6 / 10) – 1 = 0 çıkarak denklemi sağlamaktadır.

    WolframAlpha Kontrolu:
    [​IMG]
    https://s19.postimg.org/riufata83/wa2.png
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=2cos(2x)-sin(2x)+1=0, 0<=x<=2pi
     

  2. Benzer Konular: Trigonometrik Denklem
    Forum Başlık Tarih
    İlginç ve Sıradışı Çözümler Denklem Çözümünde Trigonometrik Değişken Dönüşümü 14 Nisan 2017
    Matematik - Geometri Trigonometrik Denklem 30 Mart 2017
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklem 18 Ocak 2017
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklemde Grafik Çözümü 28 Aralık 2016
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklemler (2 Soru) 23 Aralık 2016

Sayfayı Paylaş