Çözüldü Trigonometrik Denklem

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve Honore tarafından 3 Ocak 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    1.949
    Beğenileri:
    291
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    2cos2x - sin2x + 1 = 0 denkleminin (0, 2π) aralığında kaç kökü vardır?

    Sayın hocamız Doç.Dr. Şamil Akçağıl'ın söylediği "tana = 2" dönüşümüyle:

    (sina / cosa)·cos2x - sin2x = -1
    sin(a - 2x) = -cosa = sin(3π / 2 + a) ⇒ a - 2x = 3π / 2 + a + k·2πx = -3π / 4 - k·π
    k1 = -1 ⇒ x1 = π / 4 (= 45°)
    k2 = -2 ⇒ x2 = 5π / 4 (= 225°)

    Ayrıca;
    cos2x = (cosx)^2 – (sinx)^2 = (cosx – sinx)(cosx + sinx)
    1 = (sinx)^2 + (cosx)^2 özdeşlikleri denklemde yerlerine yazılıp düzenlenirse;
    2(cosx – sinx)(cosx + sinx) + (cosx – sinx)^2 = 0
    (cosx – sinx)[ 2(cosx + sinx) + (cosx – sinx) ] = 0
    (cosx – sinx)(3cosx + sinx) = 0
    cosx – sinx = 0 ⇒ tanx = 1 ⇒ x1 = π / 4 + 0·π = π / 4 (= 45°)
    x2 = π / 4 + 1·π = 5π / 4 (= 225°)
    3cosx + sinx = 0 ⇒ tanx = -3 ⇒ x3 = – arctan3 + 1·π (≈ 108,435°)
    x4 = – arctan3 + 2·π (≈ 288,435°)
    ---
    Not: 3. kökün (aynı şekilde 4. kökün de) doğruluğu şöyle kontrol edilebilir;

    2cos2(π – arctan3) – sin2(π – arctan3) + 1 =
    2cos(2π – 2arctan3) – sin(2π – 2arctan3) + 1=
    2cos(2arctan3) + sin(2arctan3) + 1 =
    4[ cos(arctan3) ]^2 – 2 + 2sin(arctan3)·cos(arctan3) + 1 =
    4[ cos(arctan3) ]^2 + 2sin(arctan3)·cos(arctan3) – 1 ...(I)

    Tanjantı 3 olacak şekilde bir dik üçgen çizilirse;
    sin(arctan3) = 3 / √10
    cos(arctan3) = 1 / √10
    olacağından bu değerler (I) eşitliğinde yerlerine yazıldığında (4 / 10) + (6 / 10) – 1 = 0 çıkarak denklemi sağlamaktadır.

    WolframAlpha Kontrolu:
    [​IMG]
    https://s19.postimg.org/riufata83/wa2.png
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=2cos(2x)-sin(2x)+1=0, 0<=x<=2pi
     

  2. Benzer Konular: Trigonometrik Denklem
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Trigonometrik Özdeşlikler - İkinci Derece Denklem (2 Soru) 23 Mart 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklem 3 Ağustos 2017
    İlginç ve Sıradışı Çözümler Denklem Çözümünde Trigonometrik Değişken Dönüşümü 14 Nisan 2017
    Matematik - Geometri Trigonometrik Denklem 30 Mart 2017
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklem 18 Ocak 2017

Sayfayı Paylaş