Çözüldü Trigonometrik Denklemde Grafik Çözümü

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve Honore tarafından 28 Aralık 2016 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    7.989
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Mesut Mutlu Hocamız'ın çözümlerinden:

    x=4sinx denkleminin kaç tane kökü vardır?
    [​IMG]

    Grafik çizerek 3 tane olduğu görülür. Başka yolu sanırım yok.
    ---
    Sevgili Mesut Üstadım'ın dediği gibi ancak grafik çözümüyle yapılabiliyor olmalı. Örneğin Tübitak 1996 sorularından olan sinx = x / 22 denkleminin reel çözümlerinin sayısına ilişkin olarak sayın Recep Yücesan Hoca da "Meraklısına Matematik" kitabında (Şubat 2005, sayfa 12-13) aşağıdaki grafikle şu açıklamaları yapmış:

    "sinx = x / 22 denklemini sağlayan x reel sayıları, y = sinx eğrisi ile y = x / 22 doğrusunun kesim noktalarının apsisleridir. O halde, bu iki fonksiyonun kaç noktada kesiştiğini bulalım: İki fonksiyon da tek fonksiyon olup, orijine göre simetriktir. Sinx fonksiyonu -1 ≤ sinx ≤ 1 olduğundan bu aralıktaki kesişim sayısı önemlidir. Şekilde görüldüğü gibi y ekseninin sağında 7 nokta ve solunda, simetrik olduğundan 7 nokta ve (0, 0) noktası ile birlikte 15 noktada kesişir.
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/0rdbRbf/grafikk.png

    Not:
    x = ∓22’den (≈ ∓7π) büyük apsis değerleri için ortak kökün olamayacağı şekilden de görülmektedir.
     

  2. Benzer Konular: Trigonometrik Denklemde
    Forum Başlık Tarih
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Mutlak Değerli Trigonometrik Denklemde Köklerin Sayısı 16 Mayıs 2022
    SOHBET - Ivır Zıvır Sorular (CHAT - Trivial Questions) Trigonometrik Denklemde Köklerin Sayısı 15 Nisan 2022
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklemde Grafik ve Cebirsel Çözümler 9 Aralık 2021
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklemde Kökler Toplamı 29 Aralık 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik Denklemde Kökler Toplamı 26 Aralık 2018

  3. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    7.989
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Aşağıdaki başka bir benzer soru nedeniyle üzerinde tekrar çalıştığım bu denkleme grafiksiz şöyle bir cebirsel ve trigonometrik bir çözüm yapılabileceğini düşünüyorum:

    y = x / 22 doğrusunun eğimi olan arctan(1 / 22) açısının arctan[ 1 / (x·π) ] açısından küçük veya eşit olmasını sağlayan x tamsayısına göre 2x + 1 kadar denklemi sağlayan kök (kesişme noktası) olur:

    arctan(1 / 22) ≤ arctan[ 1 / (x·π) ]
    1 / 22 ≤ 1 / (x·π)
    x ≤ 22 / π
    x ≤ 7 olup toplam kesişme sayısı (orijin dahil) 2·7 + 1 = 15
    ---
    sin(x) = x / 12 denkleminin köklerinin sayısının bulunması:
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=218512512475313&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1
    (Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

    arctan(1 / 12) ≤ arctan[ 1 / (x·π) ]
    x ≤ 12 / π
    x ≤ 3
    Toplam 2·3 + 1 = 7 kök (kesişme noktası) vardır.

    Grafik:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/0KfGhX8/grafik2.png

    WolframAlpha Kontrolu:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/QMFhtyL/grafik2-WA.png
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(x)=x/12

    Not: Kökler ancak bir sayısal çözümleme (numerical analysis) yöntemiyle bulunabilir.
    ≈ ∓494,062° (∓8,62301 radyan)
    ≈ ∓395,072° (∓6,89531 radyan)
    ≈ ∓166,072° (∓2,89771 radyan)
    0° (0 radyan)

Sayfayı Paylaş