Çözüldü Trigonometrik Denklemde Grafik Çözümü

Sayın Mesut Mutlu Hocamız'ın çözümlerinden:

x=4sinx denkleminin kaç tane kökü vardır?


Grafik çizerek 3 tane olduğu görülür. Başka yolu sanırım yok.
---
Sevgili Mesut Üstadım'ın dediği gibi ancak grafik çözümüyle yapılabiliyor olmalı. Örneğin Tübitak 1996 sorularından olan sinx = x / 22 denkleminin reel çözümlerinin sayısına ilişkin olarak sayın Recep Yücesan Hoca da "Meraklısına Matematik" kitabında (Şubat 2005, sayfa 12-13) aşağıdaki grafikle şu açıklamaları yapmış:

"sinx = x / 22 denklemini sağlayan x reel sayıları, y = sinx eğrisi ile y = x / 22 doğrusunun kesim noktalarının apsisleridir. O halde, bu iki fonksiyonun kaç noktada kesiştiğini bulalım: İki fonksiyon da tek fonksiyon olup, orijine göre simetriktir. Sinx fonksiyonu -1 ≤ sinx ≤ 1 olduğundan bu aralıktaki kesişim sayısı önemlidir. Şekilde görüldüğü gibi y ekseninin sağında 7 nokta ve solunda, simetrik olduğundan 7 nokta ve (0, 0) noktası ile birlikte 15 noktada kesişir.”

https://i.ibb.co/0rdbRbf/grafikk.png

Not:
x = ∓22’den (≈ ∓7π) büyük apsis değerleri için ortak kökün olamayacağı şekilden de görülmektedir.

Aşağıdaki başka bir benzer soru nedeniyle üzerinde tekrar çalıştığım bu denkleme grafiksiz şöyle bir cebirsel ve trigonometrik bir çözüm yapılabileceğini düşünüyorum:

y = x / 22 doğrusunun eğimi olan arctan(1 / 22) açısının arctan[ 1 / (x·π) ] açısından küçük veya eşit olmasını sağlayan x tamsayısına göre 2x + 1 kadar denklemi sağlayan kök (kesişme noktası) olur:

arctan(1 / 22) ≤ arctan[ 1 / (x·π) ]
1 / 22 ≤ 1 / (x·π)
x ≤ 22 / π
x ≤ 7 olup toplam kesişme sayısı (orijin dahil) 2·7 + 1 = 15
---
sin(x) = x / 12 denkleminin köklerinin sayısının bulunması:
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=218512512475313&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

arctan(1 / 12) ≤ arctan[ 1 / (x·π) ]
x ≤ 12 / π
x ≤ 3
Toplam 2·3 + 1 = 7 kök (kesişme noktası) vardır.

Grafik:

https://i.ibb.co/0KfGhX8/grafik2.png

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/QMFhtyL/grafik2-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(x)=x/12

Not: Kökler ancak bir sayısal çözümleme (numerical analysis) yöntemiyle bulunabilir.
≈ ∓494,062° (∓8,62301 radyan)
≈ ∓395,072° (∓6,89531 radyan)
≈ ∓166,072° (∓2,89771 radyan)
0° (0 radyan)