Çözüldü Trigonometrik İntegralde Cebirsel Değişken Dönüşümü - Türev

Konusu 'Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral' forumundadır ve Honore tarafından 1 Ağustos 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    3.554
    Beğenileri:
    392
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    ∫ 2sinθdθ / [ (sinθ)^3 - (sinθ)^2 - sinθ + 1 ] = ?
    (YKS 2020'de bu tür integraller yok.)

    Uyarlaması yapılan soru:
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=92684d40f5334ee18875b666b4501f3a&oe=5DAA154B
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=112973806697286&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1

    ∫ 2sinθdθ / { (1 - sinθ)·[ 1 - (sinθ)^2 ] } =
    ∫ 2sinθdθ / { (1 - sinθ)·[ (cosθ)^2 ] } =
    ∫ { 2sinθdθ / [ (cosθ)^2 ] } / (1 - sinθ) =
    ∫ { 2sinθdθ / [ (cosθ)^3 ] } / [ (1 - sinθ) / cosθ ] =
    ∫ { 2sinθdθ / [ (cosθ)^3 ] } / (secθ - tanθ) =
    ∫ 2(tanθ)·[ (secθ)^2 ]dθ / (secθ - tanθ)....(I)
    (tanθ)^2 = x....(II) ⇒ 2(tanθ)·[ (secθ)^2 ]dθ = dx....(III)
    (II)'den 1 + (tanθ)^2 = x + 1 ⇒ (secθ)^2 = x + 1 ⇒ secθ = √(x + 1)....(IV)
    Yine (II)'den tanθ = √x....(VI)
    (III), (IV), (V) eşitlikleri (I)'deki yerlerine yazılırsa;

    ∫ dx / [ √(x + 1) - √x ]....(VII)

    (VII) integralinin çözümü için pay ve payda, payda'nın eşleniği ile çarpılırsa;
    ∫ [ √(x + 1) + √x ]dx / (x + 1 - x) =
    ∫ [ √(x + 1) ]dx + ∫(√x)dx = ∫ [ √(x + 1) ]dx + ∫ [ x^(1 / 2) ]dx = ∫ [ √(x + 1) ]dx + (2 / 3)·[ x^(3 / 2) ] + c2....(VIII)
    (VIII) integralindeki ilk integrandın çözümü için x + 1 = u^2....(IX) değişken dönüşümüyle dx = 2udu olup;
    ∫ u·2udu + (2 / 3)·[ x^(3 / 2) ] + c2 = 2∫(u^2)du + (2 / 3)·[ x^(3 / 2) ] + c2 =
    (2 / 3)·(u^3) + c1 + (2 / 3)·[ x^(3 / 2) ] + c2....(X)
    (IX) eşitliğinden ters dönüşüm yapılarak (X) ifadesi;
    (2 / 3)·[ (x + 1)^(3 / 2) ] + (2 / 3)·[ x^(3 / 2) ] + c....(XI)
    (IV) ve (V) eşitliklerinden (x + 1)^(3 / 2) = (secθ)^3....(XII) ve x^(3 / 2) = (tanθ)^3....(XIII)
    (XII) ve (XIII) eşitlikleri (XI)'deki yerlerine konulup; (2 / 3)·[ (secθ)^3 + (tanθ)^3 ] + c....(XIV) sonucu bulunur.

    Doğruluk Kontrolu:
    WolframAlpha https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ 2sin(θ)dθ / [ (sin(θ))^3 - (sin(θ))^2 - sin(θ) + 1 ] = ? ile gereğinden fazla karmaşık bir sonuç verdiğinden (XIV)'ten türev alınıp;
    (d / dθ){ (2 / 3)·[ (secθ)^3 + (tanθ)^3 ] + c } =
    (2 / 3)·{ 3[ (secθ)^2 ]·(secθ)(tanθ) + 3[ (tanθ)^2 ]·[ (secθ)^2 ] }dθ =
    2[ (secθ)^2 ]·(tanθ)(tanθ + secθ)dθ =
    2{ (sinθ)dθ / [ (cosθ)^3 ] }[ (sinθ + 1) / cosθ ] =
    2(sinθ)(1 + sinθ)dθ / [ (cosθ)^4 ] =
    2(sinθ)[ 1 - (sinθ)^2 ]dθ / { [ (cosθ)^4 ](1 - sinθ) } =
    2(sinθ)[ (cosθ)^2 ]dθ / { [ (cosθ)^4 ](1 - sinθ) } =
    2sinθdθ / { [ 1 - (sinθ)^2 ](1 - sinθ) }dθ =
    2sinθdθ / [ (sinθ)^3 - (sinθ)^2 - sinθ + 1 ] olarak en başta integrali aranan ifade tekrar bulunmuş olur.

    Not: YKS 2020'de Facebook adresi verilmiş olan sadece (VII) integrali gibi sorular olabilir.

  2. Benzer Konular: Trigonometrik İntegralde
    Forum Başlık Tarih
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik İntegralde Özdeşlik ve İndirgeme Formülü (YKS 2020'de yok) Perşembe 12:54
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegralde Cebirsel ve Trigonometrik Değişken Dönüşümleri 20 Temmuz 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegralde Trigonometrik Dönüşüm - Ters Sinüs Hiperbolik Fonksiyon 2 Temmuz 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Üstel Fonksiyonlu Trigonometrik İntegralde Değişken Dönüşümü - Doğal Logaritma 28 Mart 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegralde Cebirsel ve Trigonometrik Değişken Dönüşümleri 10 Haziran 2018

Sayfayı Paylaş