Çözüldü Trigonometrik İntegralde Cebirsel Değişken Dönüşümü - Türev

Konusu 'Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral' forumundadır ve Honore tarafından 1 Ağustos 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    4.026
    Beğenileri:
    413
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    ∫ 2sinθdθ / [ (sinθ)^3 - (sinθ)^2 - sinθ + 1 ] = ?
    (YKS 2020'de bu tür integraller yok.)

    Uyarlaması yapılan soru:
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=92684d40f5334ee18875b666b4501f3a&oe=5DAA154B
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=112973806697286&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1

    ∫ 2sinθdθ / { (1 - sinθ)·[ 1 - (sinθ)^2 ] } =
    ∫ 2sinθdθ / { (1 - sinθ)·[ (cosθ)^2 ] } =
    ∫ { 2sinθdθ / [ (cosθ)^2 ] } / (1 - sinθ) =
    ∫ { 2sinθdθ / [ (cosθ)^3 ] } / [ (1 - sinθ) / cosθ ] =
    ∫ { 2sinθdθ / [ (cosθ)^3 ] } / (secθ - tanθ) =
    ∫ 2(tanθ)·[ (secθ)^2 ]dθ / (secθ - tanθ)....(I)
    (tanθ)^2 = x....(II) ⇒ 2(tanθ)·[ (secθ)^2 ]dθ = dx....(III)
    (II)'den 1 + (tanθ)^2 = x + 1 ⇒ (secθ)^2 = x + 1 ⇒ secθ = √(x + 1)....(IV)
    Yine (II)'den tanθ = √x....(VI)
    (III), (IV), (V) eşitlikleri (I)'deki yerlerine yazılırsa;

    ∫ dx / [ √(x + 1) - √x ]....(VII)

    (VII) integralinin çözümü için pay ve payda, payda'nın eşleniği ile çarpılırsa;
    ∫ [ √(x + 1) + √x ]dx / (x + 1 - x) =
    ∫ [ √(x + 1) ]dx + ∫(√x)dx = ∫ [ √(x + 1) ]dx + ∫ [ x^(1 / 2) ]dx = ∫ [ √(x + 1) ]dx + (2 / 3)·[ x^(3 / 2) ] + c2....(VIII)
    (VIII) integralindeki ilk integrandın çözümü için x + 1 = u^2....(IX) değişken dönüşümüyle dx = 2udu olup;
    ∫ u·2udu + (2 / 3)·[ x^(3 / 2) ] + c2 = 2∫(u^2)du + (2 / 3)·[ x^(3 / 2) ] + c2 =
    (2 / 3)·(u^3) + c1 + (2 / 3)·[ x^(3 / 2) ] + c2....(X)
    (IX) eşitliğinden ters dönüşüm yapılarak (X) ifadesi;
    (2 / 3)·[ (x + 1)^(3 / 2) ] + (2 / 3)·[ x^(3 / 2) ] + c....(XI)
    (IV) ve (V) eşitliklerinden (x + 1)^(3 / 2) = (secθ)^3....(XII) ve x^(3 / 2) = (tanθ)^3....(XIII)
    (XII) ve (XIII) eşitlikleri (XI)'deki yerlerine konulup; (2 / 3)·[ (secθ)^3 + (tanθ)^3 ] + c....(XIV) sonucu bulunur.

    Doğruluk Kontrolu:
    WolframAlpha https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ 2sin(θ)dθ / [ (sin(θ))^3 - (sin(θ))^2 - sin(θ) + 1 ] = ? ile gereğinden fazla karmaşık bir sonuç verdiğinden (XIV)'ten türev alınıp;
    (d / dθ){ (2 / 3)·[ (secθ)^3 + (tanθ)^3 ] + c } =
    (2 / 3)·{ 3[ (secθ)^2 ]·(secθ)(tanθ) + 3[ (tanθ)^2 ]·[ (secθ)^2 ] }dθ =
    2[ (secθ)^2 ]·(tanθ)(tanθ + secθ)dθ =
    2{ (sinθ)dθ / [ (cosθ)^3 ] }[ (sinθ + 1) / cosθ ] =
    2(sinθ)(1 + sinθ)dθ / [ (cosθ)^4 ] =
    2(sinθ)[ 1 - (sinθ)^2 ]dθ / { [ (cosθ)^4 ](1 - sinθ) } =
    2(sinθ)[ (cosθ)^2 ]dθ / { [ (cosθ)^4 ](1 - sinθ) } =
    2sinθdθ / { [ 1 - (sinθ)^2 ](1 - sinθ) }dθ =
    2sinθdθ / [ (sinθ)^3 - (sinθ)^2 - sinθ + 1 ] olarak en başta integrali aranan ifade tekrar bulunmuş olur.

    Not: YKS 2020'de Facebook adresi verilmiş olan sadece (VII) integrali gibi sorular olabilir.

  2. Benzer Konular: Trigonometrik İntegralde
    Forum Başlık Tarih
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegralde Alan - Trigonometrik Değişken Dönüşümü Dün 12:27
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Belirli İntegralde Değişken Dönüşümü - Trigonometrik Türev (YKS 2020'de yok) 7 Ekim 2019
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Trigonometrik İntegralde Özdeşlik ve İndirgeme Formülü (YKS 2020'de yok) 12 Eylül 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegralde Cebirsel ve Trigonometrik Değişken Dönüşümleri 20 Temmuz 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral İntegralde Trigonometrik Dönüşüm - Ters Sinüs Hiperbolik Fonksiyon 2 Temmuz 2019

Sayfayı Paylaş