Çözüldü Trigonometrik Özdeşlikler (3 Soru)

tanx = 2 ve tany = 3 ise x + y toplamı x ve y cinsinden nedir?

x + y = arctan2 + arctan3
tan(x + y) = tan(arctan2 + arctan3)
(x + y) / (1 - x·y) = (2 + 3) / (1 - 2·3) = -1
x + y = x·y - 1
---
sin80·sin40·sin20 = ?

sin80·sin40·sin20 = (sin80)·{ -(1 / 2)·[ cos(40 + 20) - cos(40 - 20) ] =
(sin80)·[ -(1 / 4) + (1 / 2)cos20 ] =
[ -(sin80) / 4 ] + (1 / 2)(sin80)·cos20 =
(1 / 4)[ 2(sin80)·cos20 - sin80 ] =
(1 / 4){ 2(1 / 2)·[sin(80 + 20) + sin(80 - 20) ] - sin80 } =
(1 / 4)(sin100 + sin60 - sin80) =
(1 / 4)(sin100 - sin80 + sin60) =
(1 / 4)·2{ sin[ (100 - 80) / 2 ] }·{ cos[ (100 + 80) / 2 ] } + (1 / 4)·sin60 =
(1 / 4)·2(sin10)·cos90 + (1 / 4)·sin60 =
(1 / 4)·2(sin10)·0 + (1 / 4)·[ (√3) / 2 ] =
0 + (√3) / 8 ) =
(√3) / 8
---
4cos20 - (√3)·cot20 = ?

sin(60 - 20) = sin40 = 2(sin20)·cos20....(I)
sin(60 - 20) = (sin60)·cos20 - (sin20)·cos60 = [ (√3) / 2 ]·cos20 - (1 / 2)·sin20....(II)
(I) ve (II) eşitliklerinden 2(sin20)·cos20 = [ (√3) / 2 ]·cos20 - (1 / 2)·sin20 ve bu eşitliğin iki tarafı 2 / sin20 ile çarpılırsa;
4cos20 = (√3)·cot20 - 1
4cos20 - (√3)·cot20 = -1