Çözüldü Türev (11 Soru)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/sorula11.jpg

Soru - 1
Kenar uzunluğu a olan maksimum hacimli küpün cisim köşegeni (a^2 + a^2 + a^2)^0,5 = a·√3 cm aynı zamanda içinde olduğu küpün çapına eşit olduğu için;
a·√3 = 2·4 ⇒ a = 8 / √3 cm.
Maksimum Hacim(Küp) = (8 / √3)^3 = 512 / (3√3) = (512·√3) / 8 birim^3.
---
Soru - 2
Dikdörtgenin kısa ve uzun kenarları sırasıyla a ve b ise 2·(a + b) = 32 ⇒ b = 16 - a....(I)
Dikdörtgenin oluşturacağı silindirin yüksekliği a ve tabanının çevresi b seçilirse taban yarıçapı r;
2π·r = b ⇒ r = b / (2π) cm
Silindirin Hacmi: V = π·{ [ b / (2π) ]^2 }·a....(II)
(I) eşitliği (II)'de kullanılıp V(a) = [ a / (4π) ]·[ (16 - a)^2 ]....(III)
dV / da = [ 1 / (4π) ]·[ (16 - a)^2 ] + [ a / (4π) ]·2·(16 - a)·(-1) = 0 denkleminde a ≠ 16 nedeniyle sadeleştirilip;
16 - a = 2a ⇒ a = 16 / 3 cm....(IV)
(IV) değeri (III)'teki yerine yazılarak;
Maksimum Silindir Hacmi: V(16 / 3) = [ (16 / 3) / (4π) ]·[ (16 - 16 / 3)^2 ] = 4096 / (27π) cm^3.
---
Soru - 3
i.
ln[ f(x) ] = [ cos(x) ]·ln[ sin(x) ]
f '(x) / f(x) = -[ sin(x) ]·ln[ sin(x) ] + [ cos(x) ]·cot(x)
f '(x) = { [ sin(x) ]^cos(x) }·[ cos(x)·cot(x) - sin(x)·ln[ sin(x) ].
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dx)(sin(x)^cos(x))

ii.
ln[ f(x) ] = 1 ⇒ f(x) = e ⇒ f '(x) = 0.
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dx)(x^1/log(x))

iii.
ln[ f(x) ] = x·ln[ ln(x) ] ⇒ f '(x) / f(x) = ln[ ln(x) ] + x·(1 / x) / ln(x)
f '(x) / f(x) = ln[ ln(x) ] + 1 / ln(x)
f '(x) = { [ ln(x) ]^x }·{ ln[ ln(x) ] + 1 / ln(x) }.
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dx)((log(x))^x)
---
Soru - 4
i.
f(x) = ln{ [ 1 + √sin(x) ] / [ 1 - √sin(x) ] } + 2arctan[ √sin(x) ]
f(x) = ln[ 1 + √sin(x) ] - ln[ 1 - √sin(x) ] + 2arctan[ √sin(x) ]
f '(x) = { [cos(x)] / [ 2·√sin(x)]} / [1+√sin(x)]-{-cos(x)/[2·√sin(x)]} / [1-√sin(x)] + { 2[cos(x)] / [2·√sin(x)] } / [ 1 + sin(x) ]
f '(x) = [ cos(x) ] / { [ 1 - sin(x) ]·√sin(x) } + cos(x) / { [ 1 + sin(x) ]·√sin(x) }
f '(x) = { [ cos(x) ] / √sin(x) }·{ 1 / [ 1 - sin(x) ] + 1 / [ 1 + sin(x) ] }
f '(x) = { [ cos(x) ] / √sin(x) }·2 / { [ cos(x) ]^2 }
f '(x) = 2 / { [ cos(x) ]·√sin(x) }.

WolframAlpha Kontrolu (Yeterince sadeleştirilmemiş):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dx)(ln{ [ 1 + √sin(x) ] / [ 1 - √sin(x) ] } + 2arctan[ √sin(x) ])

ii.
f '(x) = { [ arcsinx + x / √(1 - x^2) ]·√(1 - x^2) + (x^2)·(arcsinx) / √(1 - x^2) ] } / (1 - x^2) - x / (1 - x^2)
f '(x) = [ (arcsinx) + √(1 - x^2) + x + (x^2)·(arcsinx) / √(1 - x^2) - x ] / (1 - x^2)
f '(x) = [ (1 - x^2)·arcsinx + (x^2)·arcsinx ] / [ (1 - x^2)·√(1 - x^2) ]
f '(x) = arcsinx / [ (1 - x^2)·√(1 - x^2) ]
f '(x) = arcsinx / [ (1 - x^2)^(3 / 2) ].

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dx)(x*arcsin(x)/sqrt(1-x^2)+log(sqrt(1-x^2)))

iii.
f(x) = g(x) + h(x)
g '(x) = 3a^2·(1 / a) / { 1 - [ (x - a) / a ]^2 } = (3a^2) / √(2ax - x^2)
h '(x) = -√(2ax - x^2) - (x + 3a)(2a - 2x) / [ 2√(2ax - x^2) ]
h '(x) = -√(2ax - x^2) - (x + 3a)(a - x) / √(2ax - x^2)
h '(x) = [ -(2ax - x^2) - (ax - x^2 + 3a^2 - 3ax) ] / √(2ax - x^2)
h '(x) = (2x^2 - 3a^2) / √(2ax - x^2)
f '(x) = g'(x) + h(x) = (3a^2) / √(2ax - x^2) + (2x^2 - 3a^2) / √(2ax - x^2)
f '(x) = (2x^2) / √(2ax - x^2)

iv.
(soruyu hazırlayan yanlış yazmış)
f(x) = [ sin(cosx) ]^2 + [ cos(sinx) ]^2 şeklinde olmalıydı.
f '(x) = 2sin(cosx)·cos(cosx)·(-sinx) + 2cos(sinx)·[ -sin(sinx) ]·(cosx)
f '(x) = -[ sin(2cosx) ]·sinx - [ sin(2sinx) ]·(cosx).
---
Soru - 5
Ortak bir t değişkenine geçilerek;
(g o h)(t) = (π / 6)[ 1 / (1 + t + t^2) ] + 1 / √(1 + t + t^2) - 1
(f o g o h)(t) = cos{ (π / 6)[ 1 / (1 + t + t^2) ] + 1 / √(1 + t + t^2) - 1 }
(f o g o h)'(t) = {-π(1+2t)/[(6+6t+6t^2) ]-(1+2t)/[ 2(1+t+t^2)^(3 / 2) ]·{-sin[π / (6 + 6t + 6t^2) ]+1/√(1+t+t^2)-1]}
(f o g o h)'(0) = (π / 6 + 1 / 2)·sin(π / 6 + 1 - 1)
(f o g o h)'(0) = (π / 6 + 1 / 2)·(1 / 2)
(f o g o h)'(0) = (π + 3) / 12.
---
Soru - 6
f(x) = cos(3x)
f '(x) = -3sin(3x)
f ''(x) = -9cos(3x)
f '''(x) = 27sin(3x)
...
(d^n)f / dx^n = (3^n)·cos(n·π / 2 + 3x), n ∈ N.
---
Soru - 7
y '(x) = dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt) = α·[ t^(α - 1) ] / (1 / t) = α·(t^α)
y ''(x) = (d / dt)(dy / dx)(dt / dx) = (d / dt)(α·t^α)·t = (d / dt)[ α·t^(α + 1) ] = α(α + 1)·(t^α)
y '''(x) = (d / dt)α(α + 1)·(t^α)·(t) = (α^2)(α + 1)·[ t^(α - 1) ]·(t) = (α^2)(α + 1)·t^(α)
...
(d^n)y /dx^n = [ α^(n - 1) ]·(α + 1)·[ t^(α) ].