Çözüldü Üçgende Açı

Konusu 'Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik' forumundadır ve Honore tarafından 29 Ocak 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    2.309
    Beğenileri:
    329
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://s19.postimg.org/6udgf0mhv/ucgen.png
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=878423762334367&set=gm.1756715237967305&type=3&theater

    Sentetik çözümü de mutlaka vardır ama trigonometrisiz düşünemediğim için yine ancak şöyle yapabildim:
    BCD = 180 - (x + 51 + 24 + 15 + 81) = 9 - x > 0 ⇒ x < 9

    Sinüs Teoremi ile doğrudan sin(9 - x)·sin15·sin51 = sin81·sin24·sinx...(0) yazılabilir veya;

    ABD Üçgeninde Sinüs Teoremi ile |BD| / sin24 = |AD| / sin51....(I)

    BCD Üçgeninde Sinüs Teoremi ile |BD| / sin(9 - x) = |CD| / sinx....(II)

    (I) ve (II) taraf tarafa bölünürse sin(9 - x) / sin24 = ( |AD| / |CD| )·(sinx / sin51) ....(III)

    ACD Üçgeninde Sinüs Teoremi ile |AD| / sin81 = |CD| / sin15....(IV)

    (IV) değeri (III) eşitliğinde yerine konup düzenlenirse yine (0) eşitliği bulunabilir ve sin81 = cos9 yazılarak devam edilirse;

    sin(9 - x) / sinx = (sin24·cos9) / (sin15·sin51) sol taraf açılıp her terim sinx ile bölünürse;

    sin9·cotx - cos9 = (sin24·cos9) / (sin15·sin51)

    cotx = (sin24·cos9 + cos9·sin15·sin51) / (sin9·sin15·sin51)

    tanx = (sin9·sin15·sin51) / [ (cos9)(sin24 + sin15·sin51) ]

    tanx = (tan9) / [ sin24 / (sin15·sin51) + 1 ]

    tanx = (tan9) / [ sin(39 - 15) / (sin15·sin51) + 1 ]

    tanx = (tan9·sin15·sin51) / (sin39·cos15 - sin15·cos39 + sin15·sin51) ve sin51 = cos39, sin39 = cos51 olduğundan sadeleştirmeyle;

    tanx = (tan9·sin15·sin51) / (sin39·cos15)

    tanx = (tan9·sin15·sin51) / (cos51·cos15)

    tanx = tan9·tan15·tan51 = tan3....(V) (Bilmem kaç numaralı Hokus Pokus eşitliği)

    x = 3
    ---
    Öğrenci üyeler için ek bilgiler:

    tan9·tan15·tan51 = tan3 eşitliğinin ispatı; (çok araştırmama rağmen başka bir çözüm bulamadım.)

    cos12 = sin78

    2sin30·cos12 = sin78

    2sin[ (18 + 42) / 2 ]·cos[ (18 - 42) / 2 ] = sin78

    sin18 + sin42 = sin78

    sin18 + cos48 = cos12

    cos48 = cos12 - sin18

    cos48 + cos36 = cos36 + cos12 - sin18....(VI)

    Yine Hokus Pokus eşitliklerinden cos60 = cos36 - sin18....(VII) ifadesi (VI) eşitliğinde sağ tarafta yerine yazılırsa;

    cos48 + cos36 = cos60 + cos12

    (1 / 2)(cos48 + cos36) = (1 / 2)(cos60 + cos12)

    (1 / 2)[ cos(6 + 42) + cos(6 - 42) ] = (1 / 2)[ cos(24 + 36) + cos(24 - 36) ]

    cos6·cos42 = cos24·cos36

    2cos6·cos42 = 2cos24·cos36

    cos6·cos42 - cos24·cos36 = cos24·cos36 - cos6·cos42

    cos6·cos36 + cos6·cos42 - cos24·cos36 - cos24·cos42 = cos6·cos36 - cos6·cos42 + cos24·cos36 - cos24·cos42

    (cos6 - cos24)(cos36 + cos42) = (cos6 + cos24)(cos36 - cos42)

    (cos6 - cos24) / (cos6 + cos24) = (cos36 - cos42) / (cos36 + cos42)

    (-1 / 2)(cos24 - cos6) / [ (1 / 2)(cos24 + cos6) ] = (-1 / 2)(cos42 - cos36) / [ (1 / 2)(cos42 + cos36) ]

    (-1 / 2)[ cos(9 + 15) - cos(9 - 15) ] / { (1 / 2)[ cos(9 + 15) + cos(9 - 15) ] } = (-1 / 2)[ cos(3 + 39) - cos(3 - 39) ] / { (1 / 2)[ cos(3 + 39) + cos(3 - 39) ] }

    sin9·sin15 / (cos9·cos15) = sin3·sin39 / (cos3·cos39)

    tan9·tan15 = tan3·tan39

    tan9·tan15 / tan39 = tan3

    tan9·tan15·cot39 = tan3

    tan9·tan15·tan51 = tan3
    ---
    (VII) numaralı cos60 = cos36 - sin18 eşitliğinin ispatı;

    cos36 = 1 - 2(sin18)^2 özdeşliği yukarıda yerine konursa cos60 = 1 - 2(sin18)^2 - sin18....(VIII)

    sin18 hesabı:
    sin54 = sin(3·18) = cos36 = 1 - 2(sin18)^2 ve sin(3·18) = 3sin18 - 4(sin18)^3 olduğu hatırlanarak,

    3sin18 - 4(sin18)^3 = 1 - 2(sin18)^2

    4(sin18)^3 - 2(sin18)^2 - 3sin18 + 1 = 0

    (sin18 - 1) [ 4(sin18)^2 + 2sin18 - 1 ] = 0 şeklinde çarpanlara ayırılıp ikinci derece denklem sin18 = x gibi bir değişken dönüşümüyle 4x^2 + 2x - 1 = 0 olarak çözülürse
    x = sin18 = (√5 - 1) / 4 bulunur (diğer çözümler http://forum.sinavbankasi.org/index.php?topic=1227.0 adresinden görülebilir) ve bu değer (VIII) eşitliğinde kullanılırsa;

    cos60 = 1 - 2{ [ (√5 - 1) / 4 ]^2 } - (√5 - 1) / 4

    cos60 = (8 - 5 + 2√5 - 1 - 2√5 + 2) / 4

    cos60 = 4 / 8 = 1 / 2

  2. Benzer Konular: Üçgende Açı
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Üçgende Açı Dün 15:16
    Matematik - Geometri Dik Üçgende Açı 6 Temmuz 2018
    Matematik - Geometri Üçgende İç Açıortay Teoremi - Benzerlik - Kosinüs Teoremi 24 Haziran 2018
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Dik Üçgende Açı 18 Haziran 2018
    Matematik - Geometri Üçgende Açı - Sinüs Teoremi - Trigonometrik Özdeşlikler 15 Haziran 2018

Sayfayı Paylaş