Çözüldü Üçgende Alan

Konusu 'Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik' forumundadır ve Honore tarafından 17 Haziran 2017 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici

    Mesajlar:
    1.765
    Beğenileri:
    262
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Bir ABC üçgeninde D ∈ [BC], |AB| = |AC| = 10 birim, |BD| = 5 birim, DAC = 3BAD ise Alan(ABD) kaç birim^2'dir?
    Celal Aydın Yayınları, Lise - 2 Matematik Çalışma Kitapçığı, Sayfa 48, Soru 212

    BAD = θ açısını bulmaya gerek kalmadan yapılabilecek bir sentetik çözüm belki olabilir ama trigonometrisiz düşünemediğim için ben göremedim.

    BAD = θ, A noktasından [BC] kenarına inilen yüksekliğin ayağı H, |DH| = x, |AH| = y, E ∈ [HC] olsun.
    İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik aynı zamanda tepe açısının açıortayı olduğundan DAH = HAE = EAC = θ
    [AD], BAH açısının açıortayı olup Açıortay Teoremi ile 5 / 10 = x / y ⇒ y = 2x ⇒ tan(DAH) = x / y = x / 2x = 1 / 2 = tanθ....(I)
    ABD = (180 - 4θ) / 2 = 90 - 2θ
    Alan(ABD) = (1 / 2)·10·5·sin(90 - 2θ) = 25·cos2θ = 25·[ (cosθ)^2 - (sinθ)^2 ]....(II)
    (I) eşitliğine uygun dik üçgenden Pisagor Teoremi de kullanılarak sinθ = 1 / √5 ve cosθ = 2 / √5 değerleri bulunup (II) eşitliğinde yerlerine yazılırsa;
    Alan(ABD) = 25(4 / 5 - 1 / 5) = 15 birim^2 bulunur.
    ---
    Not: Açıortay Teoremi yerine doğrudan Sinüs Teoremi ile de θ açısı şöyle bulunabilir;
    ABD üçgeninde |AD| / sin(90 - 2θ) = 5 / sinθ ⇒ |AD| = 5cos2θ / sinθ....(III)
    ACD üçgeninde 10 / sin(90 - θ) = |AD| / sin(90 - 2θ) ⇒ |AD| = 10cos2θ / cosθ....(IV)
    (III) ve (IV) eşitlikleri taraf tarafa bölünüp düzenlenirse tanθ = 1 / 2
     

  2. Benzer Konular: Üçgende
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Üçgende Açı - İki Bilinmeyenli Denklem 10 Kasım 2017
    Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik Üçgende Açı 27 Ekim 2017
    Matematik - Geometri Üçgende Alan - Doğrunun Analitiği 25 Ekim 2017
    Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik Üçgende Açı 19 Ekim 2017
    Matematik - Geometri Çemberde ve Üçgende Açı 15 Ekim 2017

Sayfayı Paylaş