Üçgende Uzunluk - İç ve Dış Açıortay Teoremleri - Trigonometri (Soru Hatalı, Şıklar da Yanlış)

Konusu 'Hatalı veya Tekrarlanmış Sorular' forumundadır ve Honore tarafından 22 Kasım 2022 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    7.789
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zzgen64.png
    https://www.facebook.com/photo/?fbi...m.1771485723229933&idorvanity=289690338076153

    Sadece zamanı olan ve meraklı öğrenciler için:
    Sentetik çözüm yapılamaz, ancak hesap makinesi ve trigonometri kullanılarak olabilir.
    |BE| = x

    Çözüm - 1:
    ΔABD için İç Açıortay Teoremi ile;
    x / q = b / p ⇒ x = b·(q / p)....(I)
    8 = (p·q - x·b)^0,5 ⇒ 64 = p·q - x·b....(II)
    (I) eşitliği (II)'deki yerine yazılıp 64 = p·q - b^2·(q / p)....(III)
    ΔABD için Dış Açıortay Teoremi ile;
    (q + a) / a = (x + b) / p ⇒ q / a + 1 = [ b·(q / p) + b ] / p ⇒ q / (b + 3) + 1 = b(q / p^2 + 1 / p)....(IV)
    15 = [ a(a + q) - p(b + x) ]^0,5 ⇒ 225 = (b + 3)(b + 3 + q) - p[ b + b·(q / p) ]....(V)
    (III), (IV), (V) numaralı denklem sistemi çözülürse (isteyen ve zamanı olan uğraşsın);
    b ≈ 24,1733 ⇒ a ≈ 24,1733 + 3 ≈ 27,1733 cm.
    p ≈ 25,1971 cm
    q ≈ 31,9033 cm

    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zzzzm110.png
    https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=64=q(p-b^2/p),q/(b+3)+1=b(q/p^2+1/p),225=(b+3)(b+3+q)-p(b+b*q/p),b=?

    Çözüm - 2
    ∡FAC = ∡CAD = β
    ∡ADE = ∡EDB = θ
    ∡DBE = 2β - 2θ
    ΔACD için Sinüs Teoremi ile 15 / sin(180° - 2θ) = a / sin(β) ⇒ 15 / sin(2θ) = a / sin(β)....(VI)
    ΔADE için Sinüs Teoremi ile b / sin(θ) = 8 / sin(180° - 2β) ⇒ b / sin(θ) = 8 / sin(2β)....(VII)
    sin(2θ) = 2·sin(θ)·cos(θ), sin(2β) = 2·sin(β)·cos(β), b = a - 3 eşitlikleri de kullanılarak (VI) ve (VII) denklemleri taraf tarafa bölünüp sadeleştirilirse 15 / [ (a - 3)·cos(θ) ] = (a / 2)·cos(β)....(VIII)
    ΔABD için Sinüs Teoremi ile q / sin(180° - 2β) = p / sin(2β - 2θ)....(IX)
    ΔABC için Sinüs Teoremi ile (q + a) / sin[ (180° - 2β) + β ] = 15 / sin(2β - 2θ)....(X)
    (IX) ve (X) eşitlikleri taraf tarafa bölünerek sadeleştirilip p / 15 = q / [ 2·(a + q)·cos(β) ]....(XI)
    (VIII) ve (XI) eşitlikleri taraf tarafa çarpılarak sadeleştirilince p / [ (a - 3)·cos(θ) ] = a·q / [ 4·(a + q) ]....(XII)
    ΔADE için Kosinüs Teoremi ile b^2 = p^2 + 8^2 - 2·p·8·cos(θ) ⇒ (a - 3)^2 = p^2 + 64 - 16·p·cos(θ)....(XIII)
    ΔACD için Kosinüs Teoremi ile 15^2 = p^2 + a^2 - 2·p·a·cos(180° - 2θ) ⇒ 225 = p^2 + a^2 + 2·p·a·cos(2θ)....(XIV)
    (V)'ten 225 = (b + 3)(b + 3 + q) - p[ b + b·(q / p) ] = a(a + q) - (a - 3)(p + q)....(XV)
    (XII), (XIII), (XIV), (XV) numaralı eşitliklerden oluşan dört (a, p, q, θ) bilinmeyenli ikinci derece denklem sistemi çözülürse (yine isteyenler ve zamanı olanlar uğraşabilir);
    a ≈ 27,1733 cm
    p ≈ 25,1971 cm
    q ≈ 31,9033 cm
    θ ≈ 73,49°

    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zzzzm210.png
    https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=p/((a-3)cos(theta))=a*q/(4*(q+a)),(a-3)^2=p^2+64-16p*cos(theta),225=p^2+a^2+2*p*a*cos(2theta),225=a(a+q)-(a-3)(p+q)

    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/theta_10.png
    https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=convert (2*0.64135) radians to degree

  2. Benzer Konular: Üçgende Uzunluk
    Forum Başlık Tarih
    SOHBET - Ivır Zıvır Sorular Kinematik - Üçgende Uzunluk - Kosinüs Teoremi 16 Kasım 2022
    Hatalı veya Tekrarlanmış Sorular Üçgende Uzunluk - Pisagor Teoremi - Trigonometri (Soru Hatalı) 28 Eylül 2022
    SOHBET - Ivır Zıvır Sorular Üçgende Uzunluk - Pisagor Teoremi - Kosinüs Teoremi 25 Ağustos 2022
    SOHBET - Ivır Zıvır Sorular Üçgende Uzunluk - Kosinüs Teoremi 3 Ağustos 2022
    Matematik - Geometri Dik Üçgende Uzunluk - Trigonometri 25 Temmuz 2022

Sayfayı Paylaş