Soru Üçgende Uzunluk (Yapamadım)

https://i.ibb.co/6DDjzxX/geometrik-yer-ember.png
https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.ne...=80f7806600418e1c6672f831e5918ffd&oe=5D67A203
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=579501619238535&set=gm.1552192604918277&type=3&theater&ifg=1

[BC] doğru parçasını α + β açısı altında gören A noktasının geometrik yeri, çapı |BC| = 200 + 400 = 600 metre olan çember olup çapı gören çevre açı da her zaman 90 derece olduğundan α + β = 90°'dir.

Sabaha karşı rüyama giren bu sorudaki ilk çözümümün yanlış olduğunu görüp tekrar düşündüm ama bu sefer de şıklarda olmayan bir sonuç çıkıyor. Zamanı olan hayırseverlerin dikkatine sunuyorum, şimdiden çok teşekkür ederim (Konu başlığını "Geometrik Yer - Çember" olarak belirlemiştim).


https://i.ibb.co/gPZyDpc/Bugs-Bunny.png

Aslında bu çözüm de doğru değil çünkü ∡ADE = 60° varsayımına dayanıyor.

Analitik düzlemde;
B noktası orijin,
D(200, 0), E(300, 0), C(600, 0) noktaları x ekseni üzerinde,
Bir kenarı 100 metre olan ADE eşkenar üçgeni [DE] kenarı x ekseni üzerinde olmak üzere yerleştirilirse,
∡ABD = 60° - α
∡EAC = β - 60°
∡ACE = 120° - β olur.
ΔABD için Sinüs Teoremi ile 100 / sin(60° - α) = 200 / sinα yazılarak açılırsa;
sinα = 2[ (√3) / 2 ]·cosα - 2(1 / 2)·sinα
sinα = (√3)·cosα - sinα
2sinα = (√3)·cosα
tanα = (√3) / 2 ⇒ α = arctan[ (√3) / 2 ]....(I)
ΔACD için Sinüs Teoremi ile; 100 / sin(120° - β) = 400 / sinβ yazılıp düzenlenirse;
sinβ = 4[ (√3) / 2 ]·cosβ + 4(1 / 2)·sinβ
sinβ = 2(√3)·cosβ + 2sinβ
0 = 2√3·cosβ + sinβ
0 = 2√3 + tanβ
tanβ = -2√3 ⇒ β = 180° - arctan(2√3)....(II)
(I) ve (II)'den α + β = arctan[ (√3) / 2 ] + 180° - arctan(2√3) ≈ 147°

Notlar:
1. ΔACE için Sinüs Teoremi ile 300 / sin(β - 60°) = 100 / sin(120° - β) yazılıp işlemler yapılırsa yine tanβ = -2√3 bulunur. Bu işlemler, ilgilenen öğrencilere ödev.
2. A noktasının koordinatlarının bulunuşu:
A(200 + 100cos60°, 100sin60°)
A(250, 50√3)

Ön şartsız bir çözüm denemesi:

A noktasından [BC] kenarına [AH] yüksekliği çizilirse;
∡DAH = θ
∡ADH = 90 - θ
∡ADB = 90 + θ
∡ABD = 90 - (θ + α)
∡HAC = β - θ
∡ACH = 90 - (β - θ)
***
∆ABD için Sinüs Teoremi ile 200 / sinα = 100 / sin[ 90 - (θ + α) ]
2cos(θ + α) = sinα
2cosθcosα - 2sinθsinα = sinα
2cosθ - 2sinθtanα = tanα
2cosθ = tanα(1 + 2sinθ)
2cotα = (1 + 2sinθ) / cosθ
2cotα = secθ + 2tanθ....(I)
tanθ = y ⇒ secθ = √(1 + y^2) değişken dönüşümüyle (I) denklemi;
2cotα = √(1 + y^2) + 2y
2cotα - 2y = √(1 + y^2)
(2cotα)^2 - 8ycotα + 4y^2 = 1 + y^2
3y^2 - 8(cotα)y + (2cotα)^2 - 1 = 0
y = (4 / 3)cotα ∓ { (4cotα)^2 - 3[ (2cotα)^2 - 1 ] }^0,5 / 3
y = (4 / 3)cotα ∓ { 16[ (cotα)^2 ] - 12[ cotα)^2 ] + 3 }^0,5 / 3
tanθ = y = (4 / 3)cotα ∓ { 4[ (cotα)^2 ] + 3 }^0,5 / 3....(I)
***
∆ACD için Sinüs Teoremi ile 100 / sin[ 90 - (β - θ) ] = 400 / sinβ
1 / cos(β - θ) = 4 / sinβ
sinβ = 4cos(β - θ)
sinβ = 4cosβcosθ + 4sinβsinθ
tanβ = 4cosθ + 4tanβsinθ
tanβ(1 - 4sinθ) = 4cosθ
tanβ = 4cosθ / (1 - 4sinθ)
tanβ = 4 / (secθ - 4tanθ)
secθ - 4tanθ = 4cotβ
√(1 + y^2) - 4y = 4cotβ
√(1 + y^2) = 4y + 4cotβ
1 + y^2 = 16y^2 + 32(cotβ)y + (4cotβ)^2 = 0
15y^2 + 32(cotβ)y + (4cotβ)^2 - 1 = 0
y = (-16 / 15)cotβ ∓ { (16cotβ)^2 - 15[ (4cotβ)^2 - 1 ] }^0,5 / 15
y = (-16 / 15)cotβ ∓ { 256[ (cotβ)^2 ] - 240[ (cotβ)^2 ] + 15 }^0,5 / 15
tanθ = y = (-16 / 15)cotβ ∓ { 16[ (cotβ)^2 ] + 15 }^0,5 / 15....(II)
***
(I) ve (II) ifadelerinin sağ tarafları da eşit olacağından;
(4 / 3)cotα ∓ { 4[ (cotα)^2 ] + 3 }^0,5 / 3 = (-16 / 15)cotβ ∓ { 16[ (cotβ)^2 ] + 15 }^0,5 / 15
20cotα ∓ 5{ 4[ (cotα)^2 ] + 3 }^0,5 = 16cotβ ∓ { 16[ (cotβ)^2 ] + 15 }^0,5
Bundan fazla yapılabilecek bir sadeleştirme göremedim.