Soru Üçgende Uzunluk (Yapamadım)

Konusu 'Matematik - Geometri' forumundadır ve Honore tarafından 23 Mayıs 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    9.222
    Beğenileri:
    655
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Son düzenleme: 24 Mayıs 2019

  2. Benzer Konular: Üçgende Uzunluk
    Forum Başlık Tarih
    Hatalı veya Tekrarlanmış Sorular (Faulty or Repeated Questions) Eşkenar ve Dik Üçgende Açı, Uzunluk-Trigonometri-Programlama (Sentetik Çözüm Olursa Çok Şaşarım)) 10 Şubat 2024
    Hatalı veya Tekrarlanmış Sorular (Faulty or Repeated Questions) Üçgende Uzunluk - Trigonometri - Pisagor Teoremi (Şıklar Yanlış) 2 Şubat 2024
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Üçgende Uzunluk - Kosinüs ve Pisagor Teoremleri 3 Aralık 2023
    Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik Üçgende Açı ve Uzunluk - Noktanın Analitiği - Thales Teoremi - Trigonometri 23 Ekim 2023
    Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik Üçgende Uzunluklar Çarpımı - Trigonometri 19 Ekim 2023

  3. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    9.222
    Beğenileri:
    655
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sabaha karşı rüyama giren bu sorudaki ilk çözümümün yanlış olduğunu görüp tekrar düşündüm ama bu sefer de şıklarda olmayan bir sonuç çıkıyor. Zamanı olan hayırseverlerin dikkatine sunuyorum, şimdiden çok teşekkür ederim (Konu başlığını "Geometrik Yer - Çember" olarak belirlemiştim).

    [​IMG]
    https://i.ibb.co/gPZyDpc/Bugs-Bunny.png

    Aslında bu çözüm de doğru değil çünkü ADE = 60° varsayımına dayanıyor.


    Analitik düzlemde;
    B noktası orijin,
    D(200, 0), E(300, 0), C(600, 0) noktaları x ekseni üzerinde,
    Bir kenarı 100 metre olan ADE eşkenar üçgeni [DE] kenarı x ekseni üzerinde olmak üzere yerleştirilirse,
    ABD = 60° - α
    EAC = β - 60°
    ACE = 120° - β olur.
    ΔABD için Sinüs Teoremi ile 100 / sin(60° - α) = 200 / sinα yazılarak açılırsa;
    sinα = 2[ (√3) / 2 ]·cosα - 2(1 / 2)·sinα
    sinα = (√3)·cosα - sinα
    2sinα = (√3)·cosα
    tanα = (√3) / 2 ⇒ α = arctan[ (√3) / 2 ]....(I)
    ΔACD için Sinüs Teoremi ile; 100 / sin(120° - β) = 400 / sinβ yazılıp düzenlenirse;
    sinβ = 4[ (√3) / 2 ]·cosβ + 4(1 / 2)·sinβ
    sinβ = 2(√3)·cosβ + 2sinβ
    0 = 2√3·cosβ + sinβ
    0 = 2√3 + tanβ
    tanβ = -2√3 ⇒ β = 180° - arctan(2√3)....(II)
    (I) ve (II)'den α + β = arctan[ (√3) / 2 ] + 180° - arctan(2√3) ≈ 147°

    Notlar:
    1. ΔACE için Sinüs Teoremi ile 300 / sin(β - 60°) = 100 / sin(120° - β) yazılıp işlemler yapılırsa yine tanβ = -2√3 bulunur. Bu işlemler, ilgilenen öğrencilere ödev.
    2. A noktasının koordinatlarının bulunuşu:
    A(200 + 100cos60°, 100sin60°)
    A(250, 50√3)
    Son düzenleme: 25 Mayıs 2019
  4. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    9.222
    Beğenileri:
    655
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Ön şartsız bir çözüm denemesi:

    A noktasından [BC] kenarına [AH] yüksekliği çizilirse;
    ∡DAH = θ
    ∡ADH = 90 - θ
    ∡ADB = 90 + θ
    ∡ABD = 90 - (θ + α)
    ∡HAC = β - θ
    ∡ACH = 90 - (β - θ)
    ***
    ∆ABD için Sinüs Teoremi ile 200 / sinα = 100 / sin[ 90 - (θ + α) ]
    2cos(θ + α) = sinα
    2cosθcosα - 2sinθsinα = sinα
    2cosθ - 2sinθtanα = tanα
    2cosθ = tanα(1 + 2sinθ)
    2cotα = (1 + 2sinθ) / cosθ
    2cotα = secθ + 2tanθ....(I)
    tanθ = y ⇒ secθ = √(1 + y^2) değişken dönüşümüyle (I) denklemi;
    2cotα = √(1 + y^2) + 2y
    2cotα - 2y = √(1 + y^2)
    (2cotα)^2 - 8ycotα + 4y^2 = 1 + y^2
    3y^2 - 8(cotα)y + (2cotα)^2 - 1 = 0
    y = (4 / 3)cotα ∓ { (4cotα)^2 - 3[ (2cotα)^2 - 1 ] }^0,5 / 3
    y = (4 / 3)cotα ∓ { 16[ (cotα)^2 ] - 12[ cotα)^2 ] + 3 }^0,5 / 3
    tanθ = y = (4 / 3)cotα ∓ { 4[ (cotα)^2 ] + 3 }^0,5 / 3....(I)
    ***
    ∆ACD için Sinüs Teoremi ile 100 / sin[ 90 - (β - θ) ] = 400 / sinβ
    1 / cos(β - θ) = 4 / sinβ
    sinβ = 4cos(β - θ)
    sinβ = 4cosβcosθ + 4sinβsinθ
    tanβ = 4cosθ + 4tanβsinθ
    tanβ(1 - 4sinθ) = 4cosθ
    tanβ = 4cosθ / (1 - 4sinθ)
    tanβ = 4 / (secθ - 4tanθ)
    secθ - 4tanθ = 4cotβ
    √(1 + y^2) - 4y = 4cotβ
    √(1 + y^2) = 4y + 4cotβ
    1 + y^2 = 16y^2 + 32(cotβ)y + (4cotβ)^2 = 0
    15y^2 + 32(cotβ)y + (4cotβ)^2 - 1 = 0
    y = (-16 / 15)cotβ ∓ { (16cotβ)^2 - 15[ (4cotβ)^2 - 1 ] }^0,5 / 15
    y = (-16 / 15)cotβ ∓ { 256[ (cotβ)^2 ] - 240[ (cotβ)^2 ] + 15 }^0,5 / 15
    tanθ = y = (-16 / 15)cotβ ∓ { 16[ (cotβ)^2 ] + 15 }^0,5 / 15....(II)
    ***
    (I) ve (II) ifadelerinin sağ tarafları da eşit olacağından;
    (4 / 3)cotα ∓ { 4[ (cotα)^2 ] + 3 }^0,5 / 3 = (-16 / 15)cotβ ∓ { 16[ (cotβ)^2 ] + 15 }^0,5 / 15
    20cotα ∓ 5{ 4[ (cotα)^2 ] + 3 }^0,5 = 16cotβ ∓ { 16[ (cotβ)^2 ] + 15 }^0,5
    Bundan fazla yapılabilecek bir sadeleştirme göremedim.

Sayfayı Paylaş