Çözüldü Üstel Fonksiyonlarda Doğal Logaritma

Konusu 'Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol' forumundadır ve Honore tarafından 22 Mart 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.149
    Beğenileri:
    445
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    University of British Columbia'dan sayın Alperen Hoca'nın çözümlü problemlerinden birinin zorlaştırılmış AYT uyarlaması:
    Alperenyum radyoaktif maddesinin yıllara göre madde kaybından geriye kalan izotopların birim sayısının zamana ve doğal logaritma tabanına bağlı fonksiyonunun belirlenmesi için 2000 yılında başlanan laboratuvar testleriyle 2002 ve 2005 yıllarında sırasıyla 10 ve 2 birim izotop kaldığı tespit ediliyorsa bu maddeden testlerin başlangıcında en fazla kaç birim izotop olduğu söylenebilir?
    A) 28
    B) 29
    C) 30
    D) 31
    E) 32


    Zamanı gösteren değişken t, Doğal Logaritma tabanı e, C ve k ise birer gerçel sayı olmak üzere Alperenyum maddesinin yıllara göre izotop azalışını veren fonksiyon;
    A(t) = C·[ e^(-k·t) ]....(I) olarak belirlenir.
    A(2) = 10 = C·[ e^(-k·2) ]....(II)
    A(5) = 2 = C·[ e^(-k·5) ]....(III)
    (II) ve (III) taraf tarafa bölünerek 5 = e^3k ⇒ k = (1 / 3)·ln5....(IV)
    aranan fonksiyon (I) ve (IV) eşitliklerinden A(t) = C·{ e^[ (-t / 3)·ln5 ] }....(V) olarak (III) bağıntısına göre;
    2 = C·{ e^[ (-5 / 3)·ln5 ] }
    C = 2·{ e^[ (5 / 3)·ln5 ] }....(VI)
    B ∈ R olmak üzere B = e^[ (5 / 3)·ln5 eşitliğinden;
    ln(B) = (5 / 3)·ln5
    ln(B) = ln[ 5^(5 / 3) ]
    B = 5^(5 / 3)....(VII)
    (VII) değeri (VI)'ya taşınarak C = 2·[ 5^(5 / 3) ]....(VIII)
    (VIII) değeri de (III)'teki yerine konulup A(t) = 2·[ 5^(5 / 3) ]·{ e^[ (-t / 3)·ln5 ] }....(IX)
    Testlerin başlangıcında t = 0 olduğundan (IX) eşitliği ile;
    A(0) = 2·[ 5^(5 / 3) ] = 10·[ 25^(1 / 3) ] bulunur ki;
    y = 25^(1 / 3)
    y^3 = 25 eşitliğine göre ve 3^3 = 27 olduğundan y < 3 ve A(0) < 10·3 = 30 yani A(0) < 30 eşitsizliğinden en fazla 29 izotop olduğu söylenebilir.

    Sorunun Aslı ve Çözümü:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/56j82Zn/Alperenyum.png
    http://www.math.ubc.ca/~aabulut/teaching/math100-2019w/in-class-problems-1-sol.pdf
    (İlk soru, Problem 1.1.)

  2. Benzer Konular: Üstel Fonksiyonlarda
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Cebirsel Sadeleştirme - Üstel İfadeler Pazar 21:23
    Matematik - Geometri Üstel Fonksiyonlu Denklem - Logaritma Cumartesi 15:21
    Matematik - Geometri Üstel İfadelerin Logaritmayla Çözümü 23 Şubat 2020
    Matematik - Geometri Üstel İfadeler ve Logaritma 21 Şubat 2020
    SOHBET - Ivır Zıvır Sorular Hareket ve Hız Problemi - Çember Uzunluğu - Üstel Sayılar 15 Şubat 2020

Sayfayı Paylaş