Çözüldü Uzayda Düzlem, Vektör Fonksiyonu Eğri Uzunluğu, Seri İncelemesi, Vektörel Fonksiyon İntegrali

Üç vektörün yani uzaydaki 3 noktanın üzerinde oldukları ortak düzlemin bulunması sorusu:


https://i.ibb.co/3M6qY7M/d-zlem.png

Noktaların aynı 10x + 3y + z = 25 düzlemi üzerinde olduklarının doğrulanması:
10·3 + 3(-2) + 1 = 25
10·2 + 3·1 + 2 = 25
10·3 + 3(-1) - 2 = 25
---
Vektör fonksiyonunun eğri uzunluğu sorusu:

r(t) = <t·sint + cost, t·cost - sint>
r'(t) = <sint + t·cost - sint, cost - t·sint - cost>
r'(t) = <t·cost, -t·sint>
|r'(t)| = [ (t·cost)^2 + (-t·sint)^2 ]^0,5 = t
Eğri Uzunluğu = (alt sınır t1 = √2, üst sınır t2 = 2), ∫ t dt =
(alt sınır t1 = √2, üst sınır t2 = 2), | (t^2) / 2 | =
(2^2) / 2 - (√2)^2 / 2 =
2 - 1 =
1

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=curve length of r(t) = <t·sint + cost, t·cost - sint>, sqrt(2) <= t <= 2
---
Seri karakteri incelemesi sorusu

(alt sınır n1 = 1, üst sınır n2 = ∞), Σ ln[ (n + 1) / n ] =
(alt sınır n1 = 1, üst sınır n2 = ∞), Σ [ ln(n + 1) - ln(n) ] =
Kısmi toplam: S(n) = (ln2 - ln1) + (ln3 - ln2) + (ln4 - ln3) + ... + [ ln(n) - ln(n - 1) ] + [ ln(n + 1) - ln(n) ] =
-ln1 - ln(n + 1) =
-ln(n + 1)
lim (n → ∞) S(n) =
lim (n → ∞) -ln(n + 1) =
-∞ nedeniyle seri ıraksak (divergent)

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum log(1+1/n), n=1 to infinity
---
Vektörel fonksiyon integrali sorusu

i vektörünün katsayısının integrali:
^t + 1 = u^2....(I) ⇒ e^t = u^2 - 1 ⇒ (e^t)dt = 2udu
∫ (e^2t)dt / √(e^t + 1) = ∫ (e^t)(e^t dt) / √(e^t + 1) =
∫ (u^2 - 1)2udu / u = 2∫(u^2 - 1)du = 2(u^3 / 3 - u)....(II)
(I)'den t değişkenine geri dönülerek (II) yeniden yazılıp; (2 / 3)·[ (e^t + 1)^(3 / 2) ] - (2 / 3)·[ (e^t + 1)^(1 / 2) ] veya WolframAlpha (WA)'nın da keyfi olsun diye biraz daha düzenlenip;
(2 / 3)(e^t - 2)√(e^t + 1)....(III)

j vektörünün katsayısının integrali:
t = (10 / 3)·tanθ....(IV) ⇒ dt = (10 / 3)·[ (secθ)^2 ]dθ
∫ dt / (100 + 9t^2) = ∫ (10 / 3)·[ (secθ)^2 ]dθ / { 100 + 9·(100 / 9)·[ (tanθ)^2 ] } =
(1 / 30)∫dθ = (1 / 30)·θ....(V)
(IV)'ten t değişkenine geri dönülerek (V) tekrar düzenlenip (1 / 30)·arctan(3t / 10)....(VI)

k vektörünün katsayısının integrali;
∫ (t^2)dt / (t + 1) = ∫ { t - 1 + [ 1 / (t + 1) ] }dt = (t^2) / 2 - t + ln(t + 1)....(VII)

Sonuç olarak vektörel fonksiyonun integrali (III) + (VI) + (VII) toplamıyla;
(2·i / 3)(e^t - 2)√(e^t + 1) + (j / 30)·arctan(3t / 10) + [ (t^2) / 2 - t + ln(t + 1)]·k + c....(VIII)

veya WA'nın da canı istediği gibi düzenlenerek;
(1 / 30)·j·arctan(3t / 10) + (1 / 2)·k·[ (t + 1)^2 ] - 2·k·(t + 1) + k·log(t + 1) + (2 / 3)·i·(e^t - 2)√(e^t + 1) + c....(IX)

(VIII) yazılışı bence (IX)'dan daha düzenli.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate ((e^(2t))/sqrt((e^t)+1))i+(1/(100+9t^2))j+((t^2)/(t+1))k
---
Yanlış bölüme yolladığınız diğer sorularınız zaten forumda önceden çözülmüştü, ama zerre kadar arama zahmetine katlanmadığınız için silindi! Bu kadar tembellik nasıl olabilir?