Çözüldü Vektörlerde Doğrusal Birleşim (Lineer Kombinasyon) - Üç Bilinmeyenli Denklem

University of California - Davis'ten çözümlü bir problemin fen lisesi için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

Doğrusal birleşim ya da lineer kombinasyon, bir kümenin her elemanının birer sabitle çarpılarak sonuca eklendiği ifadedir. Örneğin, x ve y'nin doğrusal birleşimi a ve b gerçel sabitler olmak üzere ax + by olarak belirlendiğine göre; uzayda üç vektör v = (3, 4, -1), u = (0, 2, 5), w = (x, -2, 17) ise w vektörünün diğer iki vektörün doğrusal birleşimi olabilmesi için x kaç olmalıdır?

A) -8
B) -6
C) -4
D) -2
E) 0

w = a·v + b·u olma koşulu (x, -2, 17) = (3a, 4a, -a) + (0·b + 2·b + 5·b) halinde yazılıp,
x = 3a + 0·b ⇒ a = x / 3....(I)
-2 = 4a + 2b denkleminde (I) eşitliği kullanılıp sadeleştirmeyle -1 = 2x / 3 + b....(II)
17 = -a + 5b denkleminde yine (I) eşitliğine göre 17 = -x / 3 + 5b....(III)
(II) ve (III) denklemleri ilgilenen öğrencilere ödev olarak çözülürse x = -6.

Kaynak: https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/ucdavi15.png
https://www.math.ucdavis.edu/~casal..._Spring24_PracticeFirstMidterm1_Solutions.pdf
(Sayfa 4, Soru 2.a)