Çözüldü Yarım Çember ve Dik Üçgende Uzunluk - Trigonometri

Konusu 'Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı' forumundadır ve Honore tarafından 19 Nisan 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.551
    Beğenileri:
    561
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/rZ3Gz2y/Yar-m-ember-Dik-gen.png
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=ae3cb1c17db09dab10bbef3fd1d1adac&oe=5D2AF73D
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=824951051193844&set=gm.2714119695326869&type=3&theater

    Sentetik çözüm de göndermek isteyen hayırseverlere şimdiden çok teşekkürler.

    Yarıçap: r
    Çemberde kirişin orta noktası merkezden geçtiği için [DE]'nin orta noktası T ise |ET| = |DT| = a cm
    Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüsün yarısı olduğundan |BT| = a cm
    İç ters açıların eşitliğinden EDB = (TDB) = DBC = 30° ⇒ TEB = 90° - 30° = 60° ve ∆BET eşkenar olduğundan ∡EBT = 60°
    ∆BTD İkizkenar olduğundan TBD = TDB = 30°
    DBE dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile |BD| = [ (2a)^2 - a^2 ]^0,5 = a√3 cm
    ∆CDO ikizkenar olduğundan ODC = OCD = θ ⇒ COD = 180° - 2θ ⇒ BOD = 180° - (180° - 2θ) = 2θ
    Bir üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğundan COD = OBD + BDO ve 180° - 2θ = 30° + BDO ⇒ BDO = 150° - 2θ
    ∆CDO için Sinüs Teoremi ile |CD| / sin(180° - 2θ) = r / sin(θ)....(I)
    ∆BCD için Sinüs Teoremi ile |CD| / sin(30°) = (a√3) / sin(θ)....(II)
    sin(180° - 2θ) = sin(2θ) olup (I) ve (II) taraf tarafa bölünüp sadeleştirilirse a / r = (2 / √3)·sin(2θ)....(III)
    OTD dik üçgeninde cos[ (150° - 2θ) + 30° ] = a / r eşitliğinde cos(180° - 2θ) = -cos(2θ) kullanılıp düzenlenirse a / r = -cos(2θ)....(IV)
    (III) ve (IV) eşitliklerinden (2 / √3)·sin(2θ) = -cos(2θ) ⇒ tan(2θ) = -(√3) / 2....(V) ⇒ 2θ = 180° - arctan[ (√3) / 2 ]....(VI)
    ∆BDO için Sinüs Teoremi ile r / sin(30°) = 3 / sin(150° - 2θ) ⇒ r = (3 / 2)·{ 1 / [ (1 / 2)·cos(2θ) + (√3)·sin(2θ) / 2 ] } ve sadeleştirilerek;
    r = 3 / [ cos(2θ) + (√3)·sin(2θ) ] ve pay ile payda cos(2θ ile bölünürse;
    r = [ 3 / cos(2θ) ] / [ 1 + (√3)·tan(2θ) ]....(VII)
    (V) değeri (VII)'deki yerine konarak r = -6 / cos(2θ)....(VIII)
    (VI)'dan cos(2θ) = cos{ 180° - arctan[ (√3) / 2 ] } = -cos{ arctan[ (√3) / 2 ] }....(IX)
    (IX) ifadesi (VIII)'de yerine konursa r = 6 / cos{ arctan[ (√3) / 2 ] }....(X)
    arctan[ (√3) / 2 ] dar açısına göre dik üçgen çizilirse Pisagor Teoremi ile Hipotenüs [ (√3)^2 + 2^2 ]^0,5 = √7 cm ve cos{ arctan[ (√3) / 2 ] } = 2 / √7....(XI) olur.
    (XI) değeri (X) eşitliğindeki yerina taşınarak r = 6 / (2 / √7) = 3√7 cm bulunur.

  2. Benzer Konular: Yarım Çember
    Forum Başlık Tarih
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Yarım Çemberde Kare - Trigonometri (çok uğraştım ama yapamadım) 16 Nisan 2019
    Matematik - Geometri Dik Üçgende Yarım Çember 22 Mayıs 2018
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları İntegral Uygulaması - Cardioid Alanı (Green Teoremi) ve Yarım Küre Hacmi (2 Soru) 28 Nisan 2020
    Matematik - Geometri Yarım Daireler Arasındaki Alan 5 Mart 2019
    Matematik - Geometri Yarım açı 4 Nisan 2017

Sayfayı Paylaş