Çözüldü Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemlerde y' = p Dönüşümü

https://i.ibb.co/THgW5Bx/soru-d-rt.png
https://scontent.fayt2-1.fna.fbcdn....=1e0c08de7550ca06e2649d8d725801e5&oe=5F706FB6
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2762911874031258&set=gm.2655733311351451&type=3&theater (4. soru)

y·y'' + y·y' + 3[ (y')^2 ] = 0, y(0) = 1, y'(0) = -1

y = -3[ (y')^2 ] / (y' + y'') haline getirilip dy / dx = y' = p ⇒ y'' = p' = dp / dx = (dp / dy)·(dy / dx) = (dp / dy)·p değişken dönüşümüyle;
y = -3(p^2) / [ p + (dp / dy)·p ] = -3p / (1 + dp / dy) haline gelen denklem düzenlenerek;
dp / dy + (3 / y)p = -1 şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem haline gelerek y değişkenine bağlı u ve v fonksiyonları cinsinden p = u·v ⇒ dp / dy = u(dv / dy) + v(du / dy) değişken dönüşümüyle;
u(dv / dy) + v(du / dy) + (3 / y)u·v = -1
u(dv / dy + 3v / y) + v(du / dy) = -1 denkleminde dv / dy + 3v / y = 0 olmasını sağlayan v(y) = 1 / y^3 fonksiyonu bulunarak
u·0 + (1 / y^3)(du / dy) = -1 denkleminin çözümünden u(y) = C1 - y^4 / 4 olup;
p = (C1 - y^4 / 4)(1 / y^3) = C1 / y^3 - y / 4 bulunur.
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=dp/dy+(3/y)p=-1

p = y'(x) = C1 / { [ y(x) ]^3 } - [ y(x) ] / 4....(I)
dy / dx = C1 / y^3 - y / 4 değişkenlerine ayrılabilir tipteki denklem de kolayca çözülerek (bu ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev); "gerçel" genel çözümleri; y(x) = ∓[ e^(C1 - x) + 4C1 ]^(1 / 4)
WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(y(x))'=c1/(y(x))^3 - (y(x))/4

veya 4C1 = C2 alınıp "gerçel" genel çözümler;
y(x) = ∓{ [ e^(C1 - x) + C2 ]^(1 / 4) }....(II)

Başlangıç değerlerine göre;
(II) eşitliğinden; 1 = ∓(e^C1 + C2)^(1 / 4) ⇒ 1 = e^C1 + C2....(III)
(I) eşitliğinden; -1 = C1 / (1^3) - 1 / 4 ⇒ C1 = -3 / 4....(IV)
(IV) değeri (III) eşitliğindeki, yerine yazılıp;
1 = e^(-3 / 4) + C2
C2 = 1 - e^(-3 / 4)....(V)
(IV) ve (V) katsayılarıyla özel çözüm (II) genel denkleminden;
y(x) = ∓{ [ e^(-3 / 4 - x) + 1 - e^(-3 / 4) ]^(1 / 4) veya ondalıklı sayılarla;
y(x) = ∓{ [ e^(-0,75 - x) + 0,527... ]^0,25 }

Not: Facebook grubundan sorulmuş sorulardan ilk üçü http://www.sorumvar.net/frm/konular/homojen-denklemler-riccati-diferansiyel-denklemi-3-soru.9246/ adresindedir.