Çözüldü Yüksek Mertebeden Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemlerde y' = p Dönüşümü

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 30 Ağustos 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    5.284
    Beğenileri:
    638
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/THgW5Bx/soru-d-rt.png
    https://scontent.fayt2-1.fna.fbcdn....=1e0c08de7550ca06e2649d8d725801e5&oe=5F706FB6
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=2762911874031258&set=gm.2655733311351451&type=3&theater (4. soru)

    y·y'' + y·y' + 3[ (y')^2 ] = 0, y(0) = 1, y'(0) = -1

    y = -3[ (y')^2 ] / (y' + y'') haline getirilip dy / dx = y' = p ⇒ y'' = p' = dp / dx = (dp / dy)·(dy / dx) = (dp / dy)·p değişken dönüşümüyle;
    y = -3(p^2) / [ p + (dp / dy)·p ] = -3p / (1 + dp / dy) haline gelen denklem düzenlenerek;
    dp / dy + (3 / y)p = -1 şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem haline gelerek y değişkenine bağlı u ve v fonksiyonları cinsinden p = u·v ⇒ dp / dy = u(dv / dy) + v(du / dy) değişken dönüşümüyle;
    u(dv / dy) + v(du / dy) + (3 / y)u·v = -1
    u(dv / dy + 3v / y) + v(du / dy) = -1 denkleminde dv / dy + 3v / y = 0 olmasını sağlayan v(y) = 1 / y^3 fonksiyonu bulunarak
    u·0 + (1 / y^3)(du / dy) = -1 denkleminin çözümünden u(y) = C1 - y^4 / 4 olup;
    p = (C1 - y^4 / 4)(1 / y^3) = C1 / y^3 - y / 4 bulunur.
    WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=dp/dy+(3/y)p=-1

    p = y'(x) = C1 / { [ y(x) ]^3 } - [ y(x) ] / 4....(I)
    dy / dx = C1 / y^3 - y / 4 değişkenlerine ayrılabilir tipteki denklem de kolayca çözülerek (bu ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev); "gerçel" genel çözümleri; y(x) = ∓[ e^(C1 - x) + 4C1 ]^(1 / 4)
    WolframAlpha Kontrolu:
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(y(x))'=c1/(y(x))^3 - (y(x))/4

    veya 4C1 = C2 alınıp "gerçel" genel çözümler;
    y(x) = ∓{ [ e^(C1 - x) + C2 ]^(1 / 4) }....(II)

    Başlangıç değerlerine göre;
    (II) eşitliğinden; 1 = ∓(e^C1 + C2)^(1 / 4) ⇒ 1 = e^C1 + C2....(III)
    (I) eşitliğinden; -1 = C1 / (1^3) - 1 / 4 ⇒ C1 = -3 / 4....(IV)
    (IV) değeri (III) eşitliğindeki, yerine yazılıp;
    1 = e^(-3 / 4) + C2
    C2 = 1 - e^(-3 / 4)....(V)
    (IV) ve (V) katsayılarıyla özel çözüm (II) genel denkleminden;
    y(x) = ∓{ [ e^(-3 / 4 - x) + 1 - e^(-3 / 4) ]^(1 / 4) veya ondalıklı sayılarla;
    y(x) = ∓{ [ e^(-0,75 - x) + 0,527... ]^0,25 }

    Not: Facebook grubundan sorulmuş sorulardan ilk üçü http://www.sorumvar.net/frm/konular/homojen-denklemler-riccati-diferansiyel-denklemi-3-soru.9246/ adresindedir.




  2. Benzer Konular: Yüksek Mertebeden
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemlerde Varlık ve Teklik Teoremleri 25 Ağustos 2020
    Denklem Çözme, Eşitsizlikler, Oran-Orantı, Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Yüksek Dereceli Denklemde Rasyonel Kök Teoremi - Horner Yöntemi 25 Mart 2020
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Konide Yükseklik Artış Hızı - Türev 5 Mart 2020
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Artan ve Azalan Fonksiyonlar - Türev - İkinci ve Yüksek Dereceli Eşitsizlikler 13 Ocak 2020
    Matematik - Geometri Üçgende Yükseklikler 29 Ekim 2019

Sayfayı Paylaş