Çözüldü Yumurta kartonunda agirlik merkezi olasiligi

Konusu 'Polinomlar, Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık ve Binom Açılımı' forumundadır ve chopin tarafından 22 Temmuz 2023 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
2 sayfadan 1. sayfa
  1. chopin

    chopin Yeni Üye

    Mesajlar:
    15
    Beğenileri:
    11
    Cinsiyet:
    Bay
    Bir suredir her yumurta yaptigimda aklima gelen bir soruyu sormak isterim:

    karton.png Sekildeki gibi tamamen simetrik, ve agirlik merkezi O olan 12'lik yumurta kartonuna, 0<n≤12 sayida ozdes yumurtayi rastgele yerlestirdigimizde, agirlik merkezinin gene O olma ihtimali % kactir?
    Son düzenleme: 22 Temmuz 2023
    chopin, 22 Temmuz 2023
    #1
     
    : kombinasyon, olasılık
  2. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    9.947
    Beğenileri:
    657
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Chopin, bu kombinatorik problemler en az sevdiğim (olasılık hariç) türden olduğu için çok uğraştığım bir soru oldu. Çözüm mantığı bana olabilir gibi görünse de sonuçtan emin değilim çünkü çift sayılı uygun yerleşimleri fizik olarak ağırlıkların simetrik dağılımını sağlayacak şekilde yapmanın matematiksel bir yolunu bulamadığımdan gözle Excel kutularına yerleştirip saydım.

    "m tane özdeş nesne (yumurta), n tane özdeş kutuya C(m + n - 1, m) şekilde yerleştirilebilir."
    Kaynak: "Meraklısına Matematik", Recep Yücesan, Zambak Yayınları, Şubat 2005, Sayfa 330

    Ağırlık merkezinin kaymaması (yerinin değişmemesi) için yumurtalar çift sayıda ve ağırlık merkezine göre simetrik konulmalıdır.
    Tüm Yerleşimlerin Sayısı: C(12 + 12 - 1, 12) = C(23, 12) = 1352078 Tane

    Tek Sayılı Yerleşimler:
    1 Yumurta C(1 + 12 - 1, 1) = C(12, 1) = 12 Tane
    3 Yumurta C(3 + 12 - 1, 3) = C(14, 3) = 364 Tane
    5 Yumurta C(5 + 12 - 1, 5) = C(16, 5) = 4368 Tane
    7 Yumurta C(7 + 12 - 1, 7) = C(18, 7) = 31824 Tane
    9 Yumurta C(9 + 12 - 1, 9) = C(20, 9) = 167960 Tane
    11 Yumurta C(11 + 12 - 1, 11) = C(22, 11) = 705432 Tane
    Tek Sayılı Yerleşimlerin Toplam Sayısı: 909960 Tane
    Çift Sayılı Yerleşimlerin Sayısı = Tüm Durum - Tek Sayılı Yerleşimler = 1352078 - 909960 = 442118 Tane....(I)
    Ağırlık merkezinin kaymaması için çift sayıda yumurtanın simetrik yerleşimlerinin toplam sayısı:
    (Bu yerleşimlerin belirlenmesi için matematiksel bir yol bulamadım ve ancak Excel ile yapabildim)

    1 + 6 + 15 + 19 + 14 + 6 = 61 Tane...(II)
    Aranan Olasılık (I) değeri (II)'ye bölünerek: 61 / 442118 = 0,0001379... (Yaklaşık yüzbinde 14).

    12 Yumurta Yerleşimleri (1 Tane)

    10 Yumurta Yerleşimleri (6 Tane)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/ZYRY3v3/10-Yumurta.png

    8 Yumurta Yerleşimleri (15 Tane)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/q7KwMFJ/8Yumurta.png

    6 Yumurta Yerleşimleri (19 Tane)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/jvXyqnW/6Yumurta.png

    4 Yumurta Yerleşimleri (14 Tane)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/hgsCYNZ/4Yumurta.png

    2 Yumurta Yerleşimleri (6 Tane)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/jvXyqnW/6Yumurta.png

    Not: Bu soruyu acaba ne der diye chat.openai.com/chat adresindeki meşhur yapay zekaya da sordum ama kem küm etti ve bana bir yol gösteremedi. Soruyu aşağıya yazıyorum, İngilizce olarak da kontrol ederseniz gerekirse düzeltilmiş halini belki başka sistemlere de sorarız.

    "What is the probability that the center of gravity of a perfectly symmetric 12-hole egg box does not shift when equal to or more than one and equal to or less than 12 identical eggs are randomly placed inside?"
    Honore, 23 Temmuz 2023
    #2
  3. chopin

    chopin Yeni Üye

    Mesajlar:
    15
    Beğenileri:
    11
    Cinsiyet:
    Bay
    Honore Hocam,
    Sagolun baya ugrasmissiniz. Ben de bir kac gundur cozumu dusunuyordum.

    Ben sonucu (Agirlik merkezini O yapan yerlesimler)/(Tum yerlesimler) seklinde hesaplanacagini dusunuyordum. Yani, elimizde olan herhangi bir yumurta sayisini kartona koydugumuzda, hala merkezin O olmasini saglayacak yerlesimlerin, olabilecek tum yerlesimlere oraninin sorudaki olasiligi verdigini dusunuyorum.

    Oncelikle Agirlik merkezini O yapan yerlesimleri dusunelim. Ben bu toplami 63 buldum, ve su sekilde yaklastim:
    1. Cift sayida olmali
    2. Ustteki 6 bosluga koydugumuz kadar yumurtayi altaki 6ya koymaliyiz
    3. Ust ve alt yerlesimler birbirinin O noktasina gore simetrik olmali

    Bir baska ifadesi de soyle: Ustteki 6 bosluga n sayida yumurtayi nasil yerlestirirsek yerlestirelim, alttaki 6 bosluga da, agirlik merkezini O yapacak bir, ve sadece 1, yerlestirme vardir.

    Diyelim ki elimizde 2 yumurta. 1 tanesini ustteki 6 bosluga, 6 sekilde yerlestirebiliriz. Bu ustteki 6 yerlesim icin, altta da esit miktarda yerlesimler vardir. Yani bu 2 yumurtayi, agirlik merkezini O yapacak sekilde, sadece 6 farkli sekilde yerlestirebiliriz: C(6,1)=2 C(6,1)=6 (Honore Hocam bu yanlis baskiyi farkettiginiz icin tesekkurler, duzeltiyorum)

    4 yumurta icin de ayni sey gecerli. 2 yumurtayi ustteki 6 bosluga, C(6,2)=15 sekilde yesterlestirebiliriz. Ustteki 15 yerlesimin her biri icin, asagida, merkezi O yapacak (O'ya gore simetrik olan) yanlizca 1 yerlesim olmalidir. Yani, 4 yumurta icin, 15 farkli yerlesim olmalidir.

    Excel'de yaptiginiz 4 yumurta cizimlerinde, ustteki 3. ve 5. kutulardaki yerlesim eksik. Bunu da eklerseniz 15 farkli sekli bulmus oluyorsunuz.
    6 yumurta cizimlerinde de, ustteki 2, 3, ve 5 kutularina yerlesim eksik. Bunu da ekleyince 20 farkli sekil oluyor.
    2n yumurta'nin ve 2m'lik kartona, agirlik merkezini O yapacak C(m,n) farkli yerlesimi vardir diye genelleyebiliriz.

    12'lik karton icin:
    2 yumurta: C(6,1)=6
    4 yumurta: C(6,2)=15
    6 yumurta: C(6,3)=20
    8 yumurta: C(6,4)=15
    10 yumurta: C(6,5)=6
    12 yumurta: C(6,6)=1
    6+15+20+15+6+1 = 63 yerlesim vardir.

    Toplam yerlesimlerin sayisini da su sekilde dusundum:
    n sayida yumurtayi 12 kutuya C(12,n) sekilde koyabiliriz. Yani 0<n≤12 sayida yumurta icin, toplamda C(12,1)+C(12,2)+(12,3).....+C(12,11)+C(12,12) sayida yerlesim vardir diye dusunuyorum.
    Bu toplam da 12+60+220+495+792+924+792+495+220+66+12+1 = 4089

    Yani olasilik: 63/4089 = 0.0154 = %1.54 olmalidir diye dusunuyorum.

    Fakat, benim toplam yerlesimler hesabim, yazdiginiz nota tamamen ters dusuyor:
    "m tane özdeş nesne (yumurta), n tane özdeş kutuya C(m + n - 1, m) şekilde yerleştirilebilir."

    Bu yazilan formulu anlamadigim icin, nerede yanlis yaptigimi da daha anlamis degilim.
    Son düzenleme: 25 Temmuz 2023
    chopin, 24 Temmuz 2023
    #3
  4. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    9.947
    Beğenileri:
    657
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Olasılığın, boş yumurta kolisinin ağırlık merkezinin yerini değiştirmeyen yumurta yerleşimlerinin sayısının, olabilecek tüm yerleşim kombinasyonlarının sayısına oranı olması gerektiği konusunda aynı fikirdeyiz.
    Bu yerleşimlerin sayısının çift sayıda olması gerektiği de tamam.
    Yumurta kolisini Kartezyen düzlemde y = ∓1 doğrularıyla x = ∓1, ∓2, ∓3 doğrularının sınırladığı bölgeler olarak ve ağırlık merkezini de orijin olarak düşünüyorum.
    Tüm yerleşimlerin çiftler halinde ama orijine göre simetrik olması gerekmez mi? Yani bir yumurta x = 1 ve y = 1 doğrularıyla eksenler arasında sınırlanmış yere konursa (benim yerleşimlerdeki X işareti), diğer yumurta x = -1 ve y = -1 doğrularıyla eksenler arasında sınırlanmış yere konulmalıdır ki orijine göre momentler birbirlerini dengelesin ve ağırlık merkezi hep orijin olarak kalsın.
    Buraya kadar aynı düşünüyoruz. 6 türlü olabilecek 2 yumurta yerleşim örneği de tamam ama C(6, 1) ≠ 2, burada bir baskı hatası olmadıysa o eşitliği anlayamadım.
    Dediğiniz gibi benim 4'lü ve 6'lı yerleşimlerde iki durumu atlamışım ve toplam 63 uygun yerleşim var.
    Daha da önemlisi benim yerleştirmelerin sayısına ilişkin bulamadığım (düşünemediğim) işlemlerin matematiksel açıklaması söylediğiniz gibi kombinasyonla basitçe yapılıyor. Beyninize ve bilginize sağlık.
    Yine dediğiniz gibi "n sayıda yumurtayı 12 kutuya C(12, n) sekilde koyabiliriz."
    Bendeki o kitapta olan açıklamanın resmini çekip size gönderdim ama o formüle göre toplam durum sayısı çok büyük çıkıyor ve dolayısıyla da olasılık neredeyse sıfır olduğundan bana da aslında anlamsız gelmişti. Galiba o formülü buraya yanlış uyguluyorum ama o açıklama da başka nasıl kullanılabilir ki?
    Internetten de aradım ve güvendiğim bir sitenin https://www.derspresso.com.tr/matematik/sayma/ozdes-nesne-farkli-kutu adresinde aynı formül (farklı harflerle) var ama önemli olan fark şu ki özdeş nesneler farklı kutulara dağıtılıyor.
    Aynı sayfanın altındaki sağ butona iki kez tıklanarak gidilince,
    https://www.derspresso.com.tr/matematik/sayma/ozdes-nesne-ozdes-kutu açıklamaları geliyor ve orada "her kutuda bir nesne" durumuna baktığımda "her kutuda en fazla bir nesne olacak şekilde farklı dağıtım sayısı = 1" olarak yazılmış.
    Sonuç olarak bu kombinasyon, sıralama vs işlerinden olabildiğince uzak durmaya çalıştığım kadar varmış diyorum ama sizin çözüme o
    C(6, 1) = 2 eşitliği dışında bir itirazım yok.
    Selamlar, saygılar sayın Chopin.
    Honore, 24 Temmuz 2023
    #4
  5. chopin

    chopin Yeni Üye

    Mesajlar:
    15
    Beğenileri:
    11
    Cinsiyet:
    Bay
    Honore Hocam,

    Aynen oyle olmasi gerekiyor. Haklisiniz C(6, 1) = 6 olmaliydi, orayi yanlis yazmisim, hemen duzelttim.

    Benim anladigim kadariyla, buldugunuz bu formul, C(n+k-1, k-1), herhangi bir kutuya herhangi bir sayida nesne yerlestirilebildigi durumlarda gecerli oluyor. Yani, bizim ornekte, her kutuya bir kac yumurta birden koyabiliyor olsaydik, o zaman bu formulu kullanmak gerekirdi. Fakat, bu soruda kutulara sadece 1 ya da 0 yumurta koyabiliyoruz. Mesela, attiginiz link'te bir ornek soru var:
    Bu soruda, her maymuna 0 ve 10 arasinda, 0 ve 10 da dahil olmak uzere, herhangi bir sayida muz verebiliriz.

    Ayni sitede, bizim sorumuza benzer durumu da "Her Kutuda En Fazla Bir Nesne" bolumunde aciklamislar sagolsunlar. Orada da yazdigi uzere:
    Sizi de bu sevmediginiz problemlerle ugrastirdim, kusura bakmayin, ama bayadir aklimda olan bu sorunun da artik cozumunu gordugum icin mutluyum.

    Hersey icin cok tesekkurler Honore Hocam, saygilar.
    chopin, 25 Temmuz 2023
    #5
2 sayfadan 1. sayfa

Sayfayı Paylaş