Çözüldü Karmaşık Sayılar - Trigonometri

Bir kitaptaki çözümlü problemin fen lisesi için test uyarlaması:

i = √(-1), argümanı θ ∈ (0, 2π) aralığında ve modülü de 1 olan karmaşık sayı z ise (1 + z) / (1 - z) = ?

A) -cos(2θ)
B) -i·cos(θ)
C) -i·sin(θ)
D) i·cot(θ / 2)
E) i·tan(θ / 2)

z = 1·[ cos(θ) + i·sin(θ) ] = cos(θ) + i·sin(θ)
(1 + z) / (1 - z) = [ 1 + cos(θ) + i·sin(θ) ] / [ 1 - cos(θ) - i·sin(θ) ] =
{ 1 + 2·[ cos(θ / 2) ]^2 - 1 + i·2·sin(θ / 2)·cos(θ / 2) } / { 1 - 1 + 2·[ sin(θ / 2) ]^2 - i·2·sin(θ / 2)·cos(θ / 2) } =
{ 2cos(θ / 2)·[ cos(θ / 2) + i·sin(θ / 2) ] } / { 2sin(θ / 2)·[ sin(θ / 2) - i·cos(θ / 2) ] } =
cot(θ / 2)·{ [ cos(θ / 2) + i·sin(θ / 2) ][ sin(θ / 2) + i·cos(θ / 2) ] } / { [ sin(θ / 2) ]^2 + [ cos(θ / 2) ]^2 } =
cot(θ / 2)·{ (1 / 2)·sin(θ) + i·[ cos(θ / 2) ]^2 + i·[ sin(θ / 2) ]^2 - (1 / 2)·sin(θ) } / 1 =
cot(θ / 2)·i·1 =
i·cot(θ / 2).

Kitaptaki Çözüm:

https://i.ibb.co/v6Hq8rD0/Karma-k-Say.png
The Complex Variables Problem Solver
https://z-library.sk/book/V8vlPDxave/the-complex-variables-problem-solver.html?dsource=recommend
(DJVU dosyada sayfa 27, Problem 1-12.1)

Not: Hem ayrı bir özdeşliğin bilinmesini gerektirdiği hem de eşitliğin solu ve sağı birbirine karıştırılıp yapıldığı için ben beğenmedim çünkü böyle problemlerde eşitliğin sadece bir tarafından gidilerek diğer taraftaki ifadenin bulunması esastır.