Çözüldü Bölünebilme (4 Soru)

1.
18=2.9 ve (2,9)=1 olduğundan 2 ve 9'a bölümden kalan da 0'dır. Bu demektir ki y çift sayıdır. Ve y ne olursa olsun z çifttir. 9 için bakarsak:
x+y+z=x+5y=9k
k=1 için x+5y=9 --> x=4 ve y=1 için (z=4) , x=9 için y=z=0 olur.
k=2 için x+5y=18 --> x=3 için y=3 fakat z=12 olur, bu olmaz. x=8 içn y=2 ve z=8 bu olur.
k=3 için x+5y=27 --> x=2 ve y=5, fakay z=10 olur, bu da olmaz.
k=4 için x+5y'nin eşit daha büyüyecek ve olmayan x, y ve z'ler bulunacaktır.
Toplam(x) = 4+9+8 = 21 bulunur.

2.
1. yol:
(1'den a sayısına kadar (a dahil) olan sayıların kaç tanesinin bir b (a > b) sayısı ile bölünebildiğini bulmak için [| a / b|] 'yi kullanırız.)
48 ≤ x < 392 olduğuna göre, biri küçük eşit, diğeri küçük olduğundan birbirini nötr edecektir 8 ile bölünen eleman sayısı 392 ve 48'i direkt alırsak. Buna göre, (dâhiliyet - hâriciyet)
tamdeğer[|392 / 8|] = 49
tamdeğer[|48 / 8|]=6---> 49 - 6=43

2. yol:
[48,392) aralığında 8 ile bölünen ilk ve son sayıyı tesbit edersek,
48,56,......384 olduğundan; terim sayısı=((384-48)/8)+1=43 yine bulunur.

3.
5 ile bölümünden kalan 3 isec={8,3} olabilir. Maksimum(a+b)=18 olacağını biliyoruz.
Buna göre,
8 için: 5+a+b+8=3k --> a+b=3k-13 --> a+b={2,5,8,11,14,17} (3'er artığına (mod 3) dikkat ediniz!)
3 için: 5+a+b+3=3n --> a+b=3n-8 --> a+b={1,4,7,10,13,16}
a+b sayısı 6+6=12 tanedir.

4.
148^2 - 112^2 = (148-112)(148+112)=36·260=6^2·2^2·5·13 olduğuna göre 7'yle tam bölünemez.

Özür... Bu yanlış bir cümle olmuş. y'yi birler basamağında olduğunu farzederek yazmışım. Hâlbuki y onlar basamağındadır. z çift sayıdır olmalı idi.. Çünkü 2'ye tam bölünüyor. Kırmızı ile bunları belli etmişim zirâ. zaten bulduğum z'lere bakarsanız hepsi çift ve y tabiî olarak tek veya çift olabilir. Çünkü y=çift/4 = tek veya çifttir. Fakat bu yukarıdaki alıntıladığım cümle bilgi maksatlı yazılmıştır çözümde. O an ki spontane çözüm içinde belki faydası olabilir ümidiyle. Ama pek faydası olmuyor. Çözüm için elzem değil yâni. Bu çift ve tek sayı cümlesine takılmayın!

Esas:
"2.9=18 ve (2,9)=1 ise 2 ve 9'a bölümden kalanlar da 0'dır" bilgisine gelince bu önemli. Esas soruıyu çözdüren budur. Bunu bir kalıp olarak öğrenin. Çok az yerde rastlarsınız buna, bundan pek kimse bahsetmez. 9 ile bölüme baktım çünkü x,y ve z'nin hepsini beraber kullanabiliyorum, toplamına bakıyorum diyeyim. Böylece hepsini aynı anda inceletiyor bu 9k+0=9k eşitliği bana. Onun için onu alıyorum. 2 ise sadece birleri belli ediyor bana. z={0,2,4,6,8} olduğunu söylüyor. Hakikaten de öyle çözümün devamına bakarsanız.

Meselâ 1:
659 dır. O zaman 4.9=36 ve (4,9)=1 olduğundan 4 ve 9'a bölümden kalan da 11'dir. İncelersek; kendi modlarında geri gelelim 11'den:
4---> 11 , 7 , 3
9---> 11, 2
Demek ki; 659 ve 659

Meselâ 2:
9876 ----> 52=4.13 ve (4,13)=1 olduğundan, aynı mantıkla ortak kalan 48'dir:
4--> 48 , 44 , 40 , ...., 8 , 4 , 0
13--> 48 , 35 , 22 , 9
Demek ki; 9876 ve 9876

Modüler denklik (kongrüans) kullanarak yaptığım başka bir çözüm aşağıda: