Çözüldü Üçgende Uzunluk - Trigonometri

https://i.ibb.co/SfNMZ8C/gen.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=141167233358711&set=g.349475378818080&type=1&theater&ifg=1

[BK[ ∩ [AC] = {D}
[CK[ ∩ [AB] = {E}
∡BAC = ∡CKD = ∡BAD = ∡BKE = θ
∡BKC = 180 - θ
|DK| = y
ADB Dik Üçgeninde sinθ = (y + 1) / 7....(I)
CDK Dik Üçgeninde cosθ = y / 4....(II)
BEK Dik Üçgeninde cosθ = |EK| / 1 ⇒ |EK| = cosθ....(III)
AEC Dik üçgeninde sinθ = ( 4 + |EK| ) / x....(IV)
(I), (II), (III) değerleri (IV) eşitliğinde yerlerine yazılırsa;
(y + 1) / 7 = (4 + y / 4) / x ⇒ y = (112 - 4x) / (4x - 7)....(V)
(II) ve (V) eşitliklerinden cosθ = (28 - x) / (4x - 7)....(VI)
∆BCK için Kosinüs Teoremi ile |BC|^2 = 1^2 + 4^2 - 2·1·4·cos(180 - θ)....(VII)
∆ABC için Kosinüs Teoremi ile |BC|^2 = 7^2 + x^2 - 2·7·x·cosθ....(VIII)
(VII) ve (VIII) eşitliklerinden cosθ = (x^2 + 32) / (14x + 8)....(IX)
(VI) ve (IX) eşitliklerinden (28 - x) / (4x - 7) = (x^2 + 32) / (14x + 8) yazılıp düzenlenirse;
4x^3 + 7x^2 - 256x - 448 = 0
(x^2)(4x + 7) - 64(4x + 7) = 0
(x^2 - 64)(4x + 7) = 0
(x - 8)(x + 8)(4x + 7) = 0 ve x > 0 olduğundan x - 8 = 0 ⇒ x = 8 bulunur.