Çözüldü Diferansiyel Denklem Sorusu

dy / dx - y / x = (x^2)[ y^(-2) ] Bernoulli diferansiyel denklemi düzenlenirse;

(y^2)(dy / dx) - (y^3) / x = x^2....(I)

u = y^[ 1 - (-2) ] = y^3....(II) değişken dönüşümünde x değişkenine göre türev alınarak (I) denklemi;

du / dx - (3 / x)u = 3x^2....(III) şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem haline gelir ve u = k·v....(IV) değişken dönüşümünde tüm terimlerin x değişkenine göre türevleri alınarak (III) denklemi;

k(dv / dx) + v(dk / dx) - (3 / x)(k·v) = 3x^2

k(dv / dx - 3v / x) + v(dk / dx) = 3x^2....(V)

(V) denkleminde dv / dx - 3v / x = 0....(VI) şartıyla dv / v = 3(dx / x) ⇒ ln(v) = ln(x^3) ⇒ v = x^3....(VII)

(VII) eşitliği (V) denklemine taşınırsa (VI) eşitliği nedeniyle (x^3)(dk / dx) = 3x^2 ⇒ dk = 3(dx / x) ⇒ k = 3ln(x) + c1....(VIII)

(VII) ve (VIII) ifadeleri (IV) eşitliğinde kullanılırsa u = [ 3ln(x) + c1 ]·(x^3)....(IX)

(IX) ifadesi de (II) eşitliğindeki yerine yazılırsa;

[ 3ln(x) + c1 ]·(x^3) = y^3

y = x·{ [ c1 + 3ln(x) ]^(1 / 3) } çözümü bulunur.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=dy/dx-y/x=(x^2)/(y^2)
( "Differential equation solutions:" bölümündeki ilk yazım şekli.)

Rica ederim, iyi çalışmalar.