Çözüldü Daireler Arası Alan - İntegral

https://i.ibb.co/x1vf16j/Daireler-Aras-Alan2-Soru.png
https://www.facebook.com/photo.php?...&set=gm.2839120106103336&type=3&theater&ifg=1

Geometrik Çözüm:
[O1O2] x ekseni üzerinde, [AB] y ekseni üzerinde, [AB]'nin orta noktası O orijin olmak üzere şekil kartezyen düzleme yerleştirilirse;
A(0, 3)
B(0, -3)
O1(-a, 0)
O2(a, 0)
AOO2 dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile |AO2| = √(a^2 + 3^2) = √(a^2 + 9) = |AO1| = |O1O2| nedeniyle ∆AO1O2 (ve simetriden dolayı ∆BO1O2) eşkenar üçgen olduğundan
2a = √(a^2 + 9) ⇒ a = ∓√3 cm
İki büyük eş çemberin yarıçapları r olmak üzere |AO1| = |AO2| = |BO1| = |BO2| = r ve yine AOO2 dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile r^2 = (√3)^2 + 3^2 = 12 cm^2
AO2 küçük daire parçasının alanı: π·12·60° / 360° - (1 / 2)·12·sin60° = 2π - 3√3 cm^2....(I)
Alan(∆AOO2) = (√3)·3 / 2 = (3√3) / 2 cm^2....(II)
Taralı Alanlar Toplamı = 4[ 3 cm yarıçaplı dörtte bir dairenin alanı - (AO2 küçük daire parçasının alanı + AOO2 dik üçgeninin alanı) ]....(III)
(I) ve (II) kullanılarak (III);
Taralı Alanlar Toplamı = 4{ π·(3^2) / 4 - [ 2π - 3√3 + (3√3) / 2 ] }
Taralı Alanlar Toplamı = 6√3 + π cm^2

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4{ π·(3^2) / 4 - [ 2π - 3√3 + (3√3) / 2 ] } =
---
İntegralle Çözüm:
Daha kolay bir integrasyon olması için [AB] x ekseni üzerinde olmak üzere şekil 90° sola döndürülürse;
3 cm yarıçaplı merkezil çemberin denklemi x^2 + y^2 = 3^2 ve x ekseni üzerindeki yarım çemberin denklemi y1 = √(9 - x^2)....(IV)
Merkezi O1(0, -√3) ve yarıçapı √12 cm olan çemberin denklemi x^2 + (y + √3)^2 = 12 ve çemberin x ekseni üzerinde kalan küçük parçasının denklemi
y2 = -√3 + √(12 - x^2)....(V)
Taralı Alanlar Toplamı = 4[ (alt sınır x1 = 0, üst sınır x2 = 3), ∫ (y1 - y2) dx ] olup (IV) ve (V) fonksiyonlarıyla;
Taralı Alanlar Toplamı = 4{ (alt sınır x1 = 0, üst sınır x2 = 3), ∫ [ √(9 - x^2) + √3 - √(12 - x^2) ] dx }....(VI)
(VI) integralinin alınması ilgilenen öğrencilere ödev olup birinci ve üçüncü (WA sıralamasında 2. ve 3.) kareköklü terimlerde sırasıyla x = 3sinθ ve x = (√12)sinθ trigonometrik dönüşümleri yapılabilir.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/yn1F7CF/Daireler-Aras-Alan2-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4(integrate (sqrt(9-x^2)+sqrt(3)-sqrt(12-x^2))dx from x=0 to 3)