Çözüldü Üstel Sayılar (6 Soru)

Soruların sayısı sorun değil, yeter ki çözümler yararlı olsun. Sadece araya bazen başka işler de girebildiği için belki beklediğiniz kadar çabuk yardımcı olamıyorum.
2 Numaralı Soru
(2^x)(3^y) = 384....(X)
(2^y)(3^x) = 1944....(XI)
(X) ve (XI) taraf tarafa bölünerek; [ 2^(x - y) ]{ 3^[ -(x - y) ] } = 384 / 1944
(2 / 3)^(x - y) = [ (2 / 3)^4 ](24 / 24)
(2 / 3)^(x - y) = (2 / 3)^4
x - y = 4
---
7 Numaralı Soru:
343 = 7^3
625 = 25^2
128 = 2^7
0,666... = (6 - 0) / 9 = 2 / 3 eşitlikleri kullanılarak;
(7^3)^(2 / 3) - (25^2)^(0,5) + (2^7)^(3 / 7) =
7^2 - 25^1 + 2^3 =
49 - 25 + 8 =
32
---
12 Numaralı Soru:
2^5 = 32
2^6 = 64
5 < x < 6 ⇒ 15 < 3x < 18....(I)
3^3 = 27
3^4 = 81
3 < y < 4 ⇒ 6 < 2y < 8....(II)
(I) ve (II) eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa; 21 < 3x + 2y < 24 ⇒ 3x + 2y = {22, 23} ⇒ s(3x + 2y) = 2
---
4 Numaralı Soru:
3^(x + 1) = 2
[ 3^(x + 1) ]·3 = 2·3 = 6
3^(x + 2) = 6
[ 3^(x + 2) ]^[ 1 / (x + 2) ] = 6^[ 1 / (x + 2) ]
3 = 6^[ 1 / (x + 2) ]
(3)^3 = { 6^[ 1 / (x + 2) ] }^3
27 = 6^[ 3 / (x + 2) ]
---
5 Numaralı Soru
Bu problemin çözümünü ancak logaritma ile yapabildim ve epey düşünmeme rağmen yalnızca üstel sayılarla olan bir çözümü maalesef göremedim. İsterseniz başka forumlara veya Facebook gruplarına da sormanız iyi olur.
5^x = 128 ⇒ x = log128 / log5 = 7log2 / (log5)
5^3y = 32 ⇒ 3ylog5 = 5log2 ⇒ y = 5log2 / (3log5)
(2x + y) / (4y - x) = { 2[ 7log2 / (log5) ] + 5log2 / (3log5) } / { 4[ 5log2 / (3log5) ] - 7log2 / (log5) } ifadesinde pay ve payda log2 / log5 ile bölünerek sadeleştirilirse;
(2x + y) / (4y - x) = (3·2·7 + 5) / (4·5 - 3·7) = (42 + 5) / (-1) = -47
---
6 Numaralı Soru
Üstel Sayılarla Çözüm:
16^x = 243 ⇒ 2^(4x) = 3^5....(III)
27^y = 96 ⇒ 3^(3y) = (2^5)·3 ⇒ 2^5 = 3^(3y - 1)....(IV)
(III) ve (IV) taraf tarafa çarpılırsa; 2^(4x + 5) = 3^(3y - 1 + 5)....(V)
(V) eşitliğinin sağlanabilmesi ancak üslerin 0 olmasıyla mümkündür çünkü sadece bu durumda 2^0 = 3^0 = 1 olabilir.
O halde; 4x + 5 = 0 ⇒ x = -5 / 4....(VI) ve 3y - 1 + 5 = 0 ⇒ y = -4 / 3....(VII)
(VI) ve (VII) değerleri kullanılarak 3xy - x = 3(-5 / 4)(-4 / 3) - (-5 / 4) = 5 + (5 / 4) = (20 + 5) / 4 = 25 / 4

Logaritmalı Çözüm:
(III)'ten 5log3 = 4xlog2 ⇒ x = 5log3 / (4log2)....(VIII)
(IV)'ten 3y - 1 = 5log2 / (log3)....(IX)
(VIII) ve (IX) değerleriyle; 3xy - x = x(3y - 1) = [ 5log3 / (4log2) ][ 5log2 / (log3) ] = 25 / 4

Rica ederim, iyi çalışmalar.