Üçgende Uzunluk - Trigonometri - Analitik Geometri (seçenekler hatalı)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zzgen119.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=138912847509541&set=gm.1689437334527136&type=3&theater
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Aksi ispatlanabilene kadar "Hatalı Sorular" Bölümü'nde olup bu konuda açıklama yapmak isteyen hayırseverlere şimdiden çok teşekkürler.

Çözüm - 1
|AE| = y
|AB| = y + 5
∡ECB = ∡ACB = ∡ABC = θ
BEC dik üçgeninde tanθ = 6 / 5....(I)
∡BAC = 180° - 2θ
AEB dik üçgeninde tan(180° - 2θ) = 6 / y ⇒ y = 6 / (-tan2θ) = 6 / { -2tanθ / [ 1 - (tanθ)^2 ] } = 3[ (tanθ)^2 - 1 ] / tanθ....(II)
(I) değeri (II)'deki yerine yazılıp y = 3[ (6 / 5)^2 - 1 ] / (6 / 5) = 11 / 10....(III)
(I) eşitliğine uygun dik üçgen çizilip Pisagor Teoremi ile hipotenüs √(6^2 + 5^2) = √61 bulunarak cosθ = 5 / √61....(IV)
∆ACD için Kosinüs Teoremi ile ve (III) değeri de kullanılıp x^2 = (11 / 10 + 5)^2 + 3^2 - 2·(11 / 10 + 5)·cos(180° - θ) yazılarak düzenlenirse;
x^2 = (61 / 10)^2 + 9 + 2·(61 / 10)·3·cosθ ve (IV) değeri ile;
x^2 = (61 / 10)^2 + 9 + 2·(61 / 10)·3·(5 / √61) ortak payda altına toplanıp, son terimin paydası da rasyonel yapılarak sadeleştirilirse;
x^2 = (61^2 + 900 + 300√61) / 100
x^2 = (4621 + 300√61) / 100
x = [ √(4621 + 300√61) ] / 10
---
Çözüm - 2
A'dan [BC]'ye inilen dikmenin ayağı H olsun.
BEC dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile |BC| = (6^2 + 5^2)^0,5 = √61 ve ∆ABC ikizkenar olduğundan tabana inilen yükseklik tabanı eşit iki parçaya ayırdığından
|CH| = (√61) / 2....(V) olur.
AHC dik üçgeninde tanθ = |AH| / |CH| ⇒ |AH| = |CH|·tanθ yazılıp (I) ve (V) kullanılarak |AH| = [ (√61) / 2 ]·(6 / 5) = (3√61) / 5....(VI)
AHD dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile; x^2 = |AH|^2 + ( |CH| + |CD| )^2 olup burada terimlerin sırasına göre (VI), (V) ve problemde verilen |CD| = 3 değeri, yerlerine konarak;
x^2 = [ 3(√61) / 5 ]^2 + [ (√61) / 2 + 3 ]^2
x^2 = 9·61 / 25 + 61 / 4 + 3(√61) + 9
x^2 = [ 4·9·61 + 25·61 + 300(√61) + 900 ] / 100
x^2 = (4621 + 300√61) / 100
x = [ √(4621 + 300√61) ] / 10
---
Çözüm - 3
B noktası Orijin ve [BD[ x ekseni üzerinde olmak üzere şekil Kartezyen Düzleme konarak C(c, 0) olarak belirlenirse ikinci çözümdeki H noktasına göre |AH| = h alınıp
H(c / 2, 0), A(c / 2, h), D(c + 3, 0) olur.
[BE]'nin üzerinde olduğu doğrunun denklemi y = 5x / 6....(VII) ve [AC]'nin üzerinde olduğu doğrunun denklemi de y - 0 = (-6 / 5)(x - c)....(VIII)
E noktasının koordinatlarının bulunması için (VII) ve (VIII) doğruları kesiştirilirse apsisi 5x / 6 = -6x / 5 + 6c / 5 ⇒ x = 36c / 61 ve ordinatı da y = (5 / 6)(36c / 61) = 30c / 61 bulunarak E(36c / 81, 30c / 61) olur.
BEC dik üçgeninde ∡ECB = 90° - arctan(5 / 6) ve AHC dik üçgeninde de tan(∡ECB) = h / [ c - (c / 2) ] yazılarak;
tan[ 90° - arctan(5 / 6) ] = 2h / c
cot[ arctan(5 / 6) ] = 2h / c
6 / 5 = 2h / c ⇒ h = 3c / 5 olup A(c / 2, 3c / 5) bulunur.
BEC dik üçgeninde 6^2 + 5^2 = c^2 ⇒ c = √61...(IX)
AHD dik üçgeninde tan(∡ADH) = h / [ 3 + (c / 2) ] = 2h / (6 + c) ve (IX) değerine göre h = 3c / 5 = (3√61) / 5 ve
tan(∡ADH) = 2[ (3√61) / 5 ] / (6 + √61) = (6√61) / (30 + 5√61) eşitliğine uygun dik üçgenden yine Pisagor Teoremi ile hipotenüs
[ (30 + 5√61)^2 + (6√61)^2 ]^0,5 = (4621 + 300√61)^0,5....(X)
(X) değerine göre cos(∡ADH) = (30 + 5√61) / [ (4621 + 300√61)^0,5 ]....(XI)
Aynı zamanda AHD dik üçgeninde cos(∡ADH) = [ 3 + (c / 2) ] / |AD| = (6 + c) / ( 2|AD| ) = (6 + √61) / ( 2|AD| )....(XII)
(XI) ve (XII) eşitliklerinin sol tarafları eşit olduğundan sağ tarafların da eşitliği yazılıp (30 + 5√61) / [ (4621 + 300√61)^0,5 ] = (6 + √61) / ( 2|AD| ) ve sadeleştirmeyle;
5 / [ (4621 + 300√61)^0,5 ] = 1 / ( 2|AD| )
10·|AD| = [ (4621 + 300√61)^0,5 ]
|AD| = x = [ √(4621 + 300√61) ] / 10 yine bulunur.