Çözüldü Diferansiyel Denklemlerin Genel Çözümü (4 Soru)

Uygulamaya gelen bir soru. Akademik olduğu için buraya taşıyorum...
Sayın @Honore hocam büyük ihtimalle bakacaktır müsait olunca

Şöyle yapmaya çalıştım kıymetli Bora Hocam;

Soru - 1
(y ' + 1)(y ' - 2x)(y ' + 2x) = 0
y ' + 1 = 0 ⇒ y ' = -1 ⇒ dy = -dx ⇒ y1 = -x + c1
y ' - 2x = 0 ⇒ y ' = 2x ⇒ dy = 2xdx ⇒ y2 = x^2 + c2
y ' + 2x = 0 ⇒ y ' = -2x ⇒ dy = -2xdx ⇒ y3 = -x^2 + c3

WolframAlpha (WA) Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(y'+1)((y')^2-4x^2)=0
Not: C sabitlerini WA aynı ve C1 olarak alıyor, isteğe bağlı olarak değiştirilebilir.
---
Soru - 2
1·(y ')^2 + (e^y - e^x)·(y ') - e^(x + y) = 0
y ' = ( -(e^y - e^x) ∓ { (e^y - e^x)^2 - 4·1·[ -e^(x + y) ]^2 }^0,5 ) / (2·1)
y ' = { (e^x - e^y) ∓ [ (e^x + e^y)^2 ]^0,5 } / 2
y ' = [ e^x - e^y ∓ (e^x + e^y) ] / 2
y ' = (e^x - e^y + e^x + e^y) / 2 = e^x ⇒ dy = (e^x)dx ⇒ y1 = e^x + c1....(I)
y ' = (e^x - e^y - e^x - e^y) / 2
y ' = -e^y ⇒ [ e^(-y) ]dy = -dx
-e^(-y) = -x + c
e^(-y) = x - c
-y = ln(x - c)
y2 = -ln(x + c2)....(II)
(I) ve (II) eşitlikleri çözüm kümesidir.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(y ')^2 + (e^y - e^x)·(y ') = e^(x + y)
---
Soru - 3
y ' = arcsin(x)
dy = arcsin(x) dx
y = ∫ arcsin(x) dx + c1....(III)
Bazı sınavlarda ve ödevlerde integral tablolarının kullanılmasına izin verildiği için öyle durumlarda standart integrallerin doğrudan karşılıklarının kullanımı mümkün olabilir ama bütün işlemlerin gösterilmesinin şart olduğu durumlarda (III) integrali kısmi integrasyonla aşağıdaki gibi alınabilir;
u = arcsin(x) ⇒ du = dx / √(1 - x^2)
dv = dx ⇒ v = x
∫ arcsin(x) dx = x·arcsin(x) - ∫ xdx / √(1 - x^2)....(IV)
(IV) integralinde k = √(1 - x^2)....(V) değişken dönüşümüyle; dk = -2xdx / [ 2√(1 - x^2) ]
dk = -xdx / [ 2√(1 - x^2) ]....(VI)
(VI), (IV)'e taşınarak;
∫ arcsin(x) dx = x·arcsin(x) + ∫dk
∫ arcsin(x) dx = x·arcsin(x) + k + c2....(VII)
(V)'ten x değişkenine geri dönülüp bu değer (VII)'deki yerine yazılıp;
∫ arcsin(x) dx = x·arcsin(x) + √(1 - x^2) + c2....(VIII)
(VIII) eşitliği (III)'e götürülüp;
y = x·arcsin(x) + √(1 - x^2) + c1 + c2
y = x·arcsin(x) + √(1 - x^2) + c

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x-sin(y')=0
---
Soru - 4 (Bu Lagrange Denklemi için 8 puan az)
y ' = p....(1) değişken dönüşümüyle;
y = x·p^2 + p^3....(A) haline gelir ve x değişkenine göre türev alınarak;
y ' = 1·p^2 + x·2p·p ' + 3p^2·p '....(2)
(1) eşitliği (2)'ye taşınarak;
p = p^2 + x·2p·p ' + 3p^2·p '
1 = p + 2x·p ' + 3p·p '
1 - p = (2x + 3p)·p '
1 - p = (2x + 3p)·(dp / dx)
(1 - p)·dx = (2x + 3p)·dp
dx / dp = (2x + 3p) / (1 - p)
dx / dp + [ 2 / (p - 1) ]·x = 3p / (1 - p)....(3) şeklinde x değişkeninin bilinmeyen olduğu birinci mertebeden linear diferansiyel denklem haline gelir.
x = u·v....(4) değişken dönüşümüyle dx / dp = u·(dv / dp) + v·(du / dp)....(5)
(5), (3)'e taşınarak u·(dv / dp) + v·(du / dp) + [ 2 / (p - 1) ]·u·v = 3p / (1 - p)
u·{ dv / dp + [ 2 / (p - 1) ]·v } + v·(du / dp) = 3p / (1 - p)....(6)
(6) eşitliğinde dv / dp + [ 2 / (p - 1) ]·v = 0....(7) olacak şekilde v fonksiyonu seçilirse;
dv / (2v) + [ 2 / (p - 1) ]·dp = 0
(1 / 2)·ln(v) + 2·ln(p - 1) = 0
ln(v) = -4·ln(p - 1)
v = (p - 1)^(-4)
v = 1 / (p - 1)^4....(8)
(8) eşitliği (6)'da yerine konulunca (7)'den dolayı denklem sadeleşerek;
u·0 + [ 1 / (p - 1)^4 ]·(du / dp) = 3p / (1 - p)
du = 3p(p - 1)^3 dp
du = 3p(p^3 - 3p^2 + 3p - 1)dp
du = (3p^4 - 3p^3 + 3p^2 - 3p)dp
u = 3p^5 / 5 - 3p^4 / 4 + p^3 - 3p^2 / 2 + c....(9)
(8) ve (9), (4)'teki yerlerine yazılıp;
x = (3p^5 / 5 - 3p^4 / 4 + p^3 - 3p^2 / 2 + c)[ 1 / (p - 1)^4 ]...(B)
(A) ve (B) denklemleri genel çözümün parametrik denklemleridir.

Not: WA maalesef çözemediği için sonucun doğruluğunu gösteremiyorum ancak ilgilenen öğrenciler en azından aşağıdaki iki kaynağa bakarak anlayabilirler:
1. Yüksek Matematik, Cilt - 3, Prof.Dr. Ahmet A. Karadeniz, 3. Baskı, 1983, sayfa 36 - 37
2. Çözümlü Problemlerle Diferansiyel Denklemler, Prof.Dr. Metin Başarır, Doç.Dr. Eyüp Dabri Türker, sayfa 133 - 134
WA'nın gösterebildiği: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y=x((y ')^2)+(y ')^3

Elinize sağlık sayın hocam...
İnanın öğrenciler size ne kadar teşekkür etse azdır.
Özellikle akademik soruları çözmek, çok emek ve bilgi istiyor. Çözen kişi sayısı çok az. Siz bu az kişilerden birisiniz bence.
Onlar adına ben teşekkür ederim

Rica ederim sayın üstadım, kurduğunuz bu site tam bir hazine aslında. Siz başta olmak üzere birçok sayın hocamdan burada o kadar çok şey öğrendim ki asıl ben size bu büyük imkanı sağladığınız için hem kendim, hem de torunum adına çok teşekkür ederim çünkü sayenizde ona müthiş bir arşiv hazırlıyorum.

Toruna verilebilecek en güzel miras, bilgi
Biraz katkım varsa ne mutlu bana sayın hocam