Çözüldü Tam Kare Yapımı, Çarpanlara Ayırma ve Değişken Dönüşümüyle İkinci Derece Denklem Oluşumu

University of Nebraska - Omaha, π / 2 Mathematical Contest 2018 Yılı çözümlü sorularından AYT uyarlaması:

x^2 - 31x + 220 = 2^x·(31 - 2x - 2^x) ⇒ Σx = ?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

x^2 - 31x + 220 = -2^(2x) - 2x·2^x + 31·2^x
x^2 + 2x·2^x + 2^(2x) + 220 = 31(x + 2^x)
(x + 2^x)^2 - 31(x + 2^x) + 220 = 0....(I)
y = x + 2^x dönüşümüyle (I) denklemi y^2 - (11 + 20)·y + 11·20 = 0 haline gelerek çarpanlara ayrılırsa (veya ikinci derece denklem köklerini veren formül kullanılarak),
y1 = x + 2^x = 11 ⇒ x1 = 3 (<==== 3 + 2^3 = 3 + 8 = 11)
y2 = x + 2^x = 20 ⇒ x2 = 4 (<==== 4 + 2^4 = 4 + 16 = 20)
Σx = 3 + 4 = 7.

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i.ibb.co/yFj4wy7Q/Nebraska.png
https://www.unomaha.edu/college-of-...cs/pow/s2018/Solutions to Half Pi Contest.pdf
(Sayfa 4, Problem 8)

Not: Klasik bir sınavda f(x) = x + 2^x fonksiyonunun hep artan olması nedeniyle ikiden fazla kök olamayacağı yorumu da ayrıca istenmelidir.