Çözüldü Noktanın ve Doğrunun Analitiği - İkinci Derece Denklemde Katlı Kök - Türev

Fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

Türev, iki nokta arasındaki uzaklık formülü ve "Pisagor Teoremi"ni kullanmadan; y = √x eğrisinin A(2, 0) noktasına en yakın noktasının ordinatını, teğet ve normal denklemlerini, teğetin değme noktasının A noktasına uzaklığını bulunuz ve grafiğini çiziniz.

Not: Aşağıdaki çözümde bazı parantezler gereksizdir.

b, m, n ∈ R
Teğetin Değme Noktası: T(b^2, b)
Teğet Denklemi: y = m·x + n
m·x + n = √x ⇒ m^2·x^2 + (2·m·n - 1)·x + n^2 = 0 ⇒ Δ = 4m^2·n^2 - 4·m·n + 1 - 4·m^2·n^2 = 0 ⇒ n = 1 / (4m)....(I)
(I) kullanılarak b = b^2·m + [ 1 / (4m) ]....(II)
[ (0 - b) / (2 - b^2) ]·m = -1 ⇒ m·b = 2 - b^2....(III)
(II) ve (III) eşitliklerinden oluşan ikinci derece denklem sistemi ilgilenen öğrencilere ödev olarak çözülünce;
b = ∓(√6) / 2 ve m = ∓1 / √6
Çözüm I. Bölgede olacağından b = (√6) / 2....(IV) ve m = 1 / √6....(V)
(V) değeri (I) eşitliğindeki yerine yazılıp n = (√6) / 4....(VI)
Teğet Denklemi: y = x / √6 + (√6) / 4 ⇒ 2x - (2√6)y + 3 = 0....(VI)
Normalin Eğimi -√6 ve Denklemi: y - 0 = -√6(x - 2) ⇒ y = -(√6)·x - 2
A(2, 0) noktasının (VI) numaralı teğete uzaklığı: d = |2·2 - (2√6)·0 + 3| / [ 2^2 + (2√6)^2 ]^0,5 = 7 / √28 = (√7) / 2 birim.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/parab123.png

Sorunun Aslı ve Türevli Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/parab124.png
https://www.acilmatematik.com.tr/images/files/b9b39d14-c791-4ce8-a7e1-1509ba2c20ea.pdf
(Sayfa 28, Soru 6)