Çözüldü Üçgende Alan, Açı, Uzunluk - Trigonometri

Sadece zamanı çok olan ve trigonometriye meraklı öğrencilere:

https://i.ibb.co/XkJhBk20/gen.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi....27716874997909477&idorvanity=137856289571386

|BO| = R birim
|DO| = x birim
Çevrel Çemberin Merkezi: O
|AB| = |AC| ise ΔABC ve ΔBCO ikizkenar
∡ABC = ∡ACB = θ
∡BAC = ∡BAD = 180° - 2θ
∡BAO = ∡CAO = 90° - θ
∡CBO = ∡BCO = β
∡BOC = 180° - 2β
∡COD = 2β
∡DCO = ∡ABO = θ - β
∡AOB = 90° + β
∡AOD = 90° - β
∡ADO = θ + β
∡CDO = 180° - (θ + β)
ΔABD için Sinüs Teoremi gereğince |BD| / sin(2θ) = |AB| / sin(θ + β)...(I)
ΔBCD için Sinüs Teoremi gereğince |BD| / sin(θ) = |BC| / sin(θ + β)...(II)
(I) ve (II) taraf tarafa bölünerek sadeleştirilince 1 / [ 2·cos(θ) ] = |AB| / |BC|....(III)
B noktasının [BC] kenarına uzaklığı: h birim
|AD|·h / 2 = 10....(IV)
|CD|·h / 2 = 16....(V)
(IV) ve (V) taraf tarafa bölünüp sadeleştirilince |AD| / |CD| = 5 / 8 ⇒ ( |AD| + |CD| ) / |CD| = (5 + 8) / 8
|AC| / |CD| = 13 / 8 ⇒ |AB| / |CD| = 13 / 8....(VI)
ΔBCD için Sinüs Teoremi gereğince |CD| / sin(β) = |BC| / sin(θ + β) ⇒ |CD| = |BC|·sin(β) / sin(θ + β)....(VII)
(VII) eşitliği (VI)'da sağ taraftaki yerine yazılarak |AB| / [ |BC|·sin(β) / sin(θ + β) ] = 13 / 8 ve düzenlenince;
|AB| / |BC| = 13·sin(β) / [ 8·sin(θ + β) ]....(VIII)
(VIII) eşitliği (III)'e götürülerek 1 / [ 2·cos(θ) ] = 13·sin(β) / [ 8·sin(θ + β) ]....(IX)
ΔCDO için Sinüs Teoremi gereğince R / sin(θ + β) = x / sin(θ - β)....(X)
(1 / 2)·R^2·sin(2β) + (1 / 2)·R·x·sin(2β) = 16 ⇒ (R^2 + R·x)·sin(2β) = 32....(XI)
(1 / 2)·R^2·sin(90° + β) + (1 / 2)·R·x·sin(90° + β) = 10 ⇒ (R^2 + R·x)·cos(β) = 20....(XII)
(XI) ve (XII) taraf tarafa bölünerek sadeleştirilirse sin(β) = 4 / 5....(XIII) ⇒ cos(β) = 3 / 5....(XIV)
(XIII) ve (XIV) değerleri (IX) denkleminde kullanıldığında θ = 2·arctan[ (√10 - 1) / 3 ]....(XV) ≈ 71°
(XVI) eşitliğinden sin(θ) = 3 / √10....(XVII) ⇒ cos(θ) = 1 / √10....(XVIII)
(X) ve (XII) denklemleriyle (XIII), (XIV), (XVII), (XVIII) değerleri kullanılırsa yani;
R / sin(θ + β) = x / sin(θ - β), (R^2 + R·x)·cos(β) = 20, sin(β) = 4 / 5, cos(β) = 3 / 5, sin(θ) = 3 / √10, cos(θ) = 1 / √10
denklem sisteminin hamallığı www.mathful.com Yapay Zekâsına yaptırılınca R = (5·√78) / 9 birim ≈ 4,91 birim.

Not: Yapay Zekânın çözümü ekte.

Gece biraz kısa bir çözüm aklıma geldi (Eğer Yapay Zekânınki abartılıysa) :
∡BOC = 2·∡BAC ⇒ 180° - 2β = 2·(180° - 2θ) ⇒ β = 2θ - 90°....(XIX) eşitliği (XI)'deki yerine konulunca;
(R^2 + R·x)·sin(2β) = 32
(R^2 + R·x)·sin(β)·cos(β) = 16
(R^2 + R·x)·sin(2θ - 90°)·cos(2θ - 90°) = 16
(R^2 + R·x) = -16 / [ sin(2θ)·cos(2θ) ]....(XX)
(XIX) eşitliği (XII)'deki yerine konulunca sin(2θ)·(R^2 + R·x) = 20....(XXI)
(XX) ve (XXI) eşitliklerinden cos(2θ) = -4 / 5....(XXII) ⇒ sin(2θ) = 3 / 5....(XXIII)
(XXII) ve (XXIII) değerleri (XX)'ye götürülüp (R^2 + R·x) = -16 / [ (3 / 5)(-4 / 5) ] = 100 / 3....(XXIV)
sin(β) = 4 / 5, cos(β) = 3 / 5, sin(θ) = 3 / √10, cos(θ) = 1 / √10 değerleri R / sin(θ + β) = x / sin(θ - β) eşitliğinden çıkan
R·sin(θ - β) = x·sin(θ + β) denkleminde kullanılıp,
R·[ (3 / √10)(3 / 5) - (4 / 5)(1 / √10) ] = x·[ (3 / √10)(3 / 5) - (4 / 5)(1 / √10) ] ⇒ x = 5R / 13....(XXV)
(XXV) değeri (XXIV) denklemindeki yerine yazıldığında R^2 + R·(5R / 13) = 100 / 3 ⇒ R^2 = 13·100 / (3·2·9)
R = (5·√78) / 9 birim ≈ 4,91 birim.