Çözüldü Trigonometrik Limitte MacLaurin Serisinin Kullanımı - L'Hospital Kuralı Bazen İşkence Olabilir

GRE Math deneme sorularından birinin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması: lim (x → 0) { x^(-2) - [ csc(x) ]^2 } = ?
https://hkmin27.github.io/contents/gre/problems/Calculus1-1_problems.pdf
(Sayfa 2, Soru 11, Yanıtlar son sayfada)

∞ - ∞ belirsizliği

MacLaurin Serisiyle Çözüm:
f(x) = [ csc(x) ]^2 MacLaurin serisine açılınca (bilmeyen ama ilgilenen öğrencilere araştırma ve öğrenme ödevi);
[ csc(x) ]^2 = 1 / x^2 + 1 / 3 + x^2 / 15 + 2x^4 / 189 + ...
lim (x → 0) { 1 / x^2 - 1 / x^2 - 1 / 3 - x^2 / 15 - 2x^4 / 189 + ... } =
lim (x → 0) { -1 / 3 - x^2 / 15 - 2x^4 / 189 - ... } =
-1 / 3 - 0 - 0 - ... =
-1 / 3.

L'Hospital Kuralı Uygulanarak Çözüm:
lim (x → 0) { [ sin(x) ]^2 - x^2 } / { x^2·[ sin(x) ]^2 } = 0 / 0 belirsizliğinden dolayı L'Hospital Kuralı uygulanabilir:
Birinci Aşama: lim (x → 0) [ sin(2x) - 2x ] / { 2x·[ sin(x) ]^2 + x^2·sin(2x) } = 0 / 0
İkinci Aşama: lim (x → 0) [ 2cos(2x) - 2 ] / { 2·[ sin(x) ]^2 + 2x·sin(2x) + 2x·sin(2x) + 2x^2·cos(2x) } = 0 / 0
Üçüncü Aşama: lim (x → 0) -4sin(2x) / { 2sin(2x) + 4sin(2x) + 8x·cos(2x) + 4x·cos(2x) - 4x^2·sin(2x) } = 0 / 0
Dördüncü Aşama: lim (x → 0) -8cos(2x) / { 12cos(2x) + 12cos(2x) - 24x·sin(2x) - 8x·sin(2x) - 8x^2·cos(2x) } =
-8 / (12 + 12 - 0 - 0 - 0) =
-8 / 24 =
-1 / 3.