Karmaşık Sayılarda Esas Argüman - Belirsiz Katsayılar Kuralı - 2. Derece 2 Bilinmeyenli Denklem

Facebook Calculus gruplarından birindeki hatalı sorunun fen lisesi klasik sınavı için düzeltilip birazcık zorlaştırılmış uyarlaması:

z bir karmaşık sayı, i^2 = -1 olmak üzere |z|^2 + z^2 + 3z = -1 + i ise Arg(z) = ?
https://www.facebook.com/photo/?fbi....2200203063856864&idorvanity=1728193711057804

x, y ∈ R ve z = x + y·i alınıp [ (x^2 + y^2)^0,5 ]^2 + x^2 + 2·x·y·i - y^2 + 3x + 3·y·i = -1 + i
x^2 + y^2 + x^2 + (2·x·y + 3·y)·i - y^2 + 3x = -1 + i
2x^2 + 3x + (2·x·y + 3·y)·i = -1 + i eşitliğinin sağlanabilmesi için 2x^2 + 3x = -1 ve 2·x·y + 3·y = 1 denklem sistemi ilgilenen öğrencilere ödev olarak çözülünce;
x1 = -1, y1 = 1, z1 = -1 + i, z1^2 = 1 - 2·i - 1 = 0 - 2·i, Re{z1^2} = Re{0} = 0
x2 = -1 / 2, y2 = 1, z2 = -1 / 2 + i / 2, z2^2 = 1 / 4 - i / 2 - 1 / 4 = 0 - i / 2, Re{z2^2} = Re{0} = 0
Arc(z1) = Arg(z2) = π - arctan(1) = π - π / 4 = 3π / 4.

Notlar:
1. Sorunun aslında ayrıca Re{z^2} > 0 şartı da var ancak çözümden ve aşağıdaki WolframAlpha kontrolundan da görüleceği gibi iki karmaşık sayının da karesinde imajiner kısımlar sıfır.
https://www.wolframalpha.com/input?i=|z|^2 + z^2 + 3z = -1 + i, z^2 = ?
2. Esas argüman(lar)ın WolframAlpha kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input?i=|z|^2 + z^2 + 3z = -1 + i, Arg(z)=?