Çözüldü Türev ve Geometrik Anlamı - Konide Hacim

Eski kitaplardan birindeki sorunun AYT için biraz değiştirilip zorlaştırılmış uyarlaması:

f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 fonksiyonunun apsisi -1 olan noktasındaki teğetinin y ekseni etrafında tam dönüşüyle oluşan cismin hacmi kaç π birim küptür?

A) 61 / 72
B) 62 / 73
C) 63 / 74
D) 64 / 75
E) 65 / 76

(1 - x)·f(x) = 1 - x^11
-f(x) + (1 - x)·f '(x) = -11x^10....(I)
f(-1) = 5·(1 - 1) + 1 = 1....(II)
(II) değeri (I) eşitliğinde en soldaki yerine yazılıp -1 + 2·f '(-1) = -11 ⇒ f '(-1) = -5
Teğetin Denklemi: y - 1 = -5·[ x - (-1) ] ⇒ y = -5x - 4
Teğetin apsisler eksenini kestiği nokta -4 / 5 ve ordinatlar eksenini kestiği nokta -4 olup bu doğrunun y ekseni etrafındaki tam dönüşüyle yarıçapı 4 / 5 birim ve yüksekliği de 4 birim olan bir dik koni meydana gelir ve hacmi (1 / 3)·π·(4 / 5)^2·4 = (64 / 75)·π birim^3 olur.

Kaynak: "ÖSYS Matematik Soru Bankası", Zafer Yayınları, 7. Baskı, Aralık 1998, Sayfa 543, Soru 21