Çözüldü Trigonometrik Özdeşlik ve Türev

Eski bir kitaptaki problemin fen lisesi için olimpiyatlara hazırlık uyarlaması:

cos(θ)·cos(2θ)·cos(4θ) - sin(8θ) / [ 8·sin(θ) ] = A ⇒ A + cos[ tan(θ) + 2·tan(2θ) + 4·tan(4θ) + 8·cot(8θ) - cot(θ) ] = ?

A = cos(θ)·cos(2θ)·cos(4θ) - 2·sin(4θ)·cos(4θ) / [ 8·sin(θ) ]
A = [ 4·sin(θ)·cos(θ)·cos(2θ)·cos(4θ) - sin(4θ)·cos(4θ) ] / [ 8·sin(θ) ]
A = [ 2·sin(2θ)·cos(2θ)·cos(4θ) - sin(4θ)·cos(4θ) ] / [ 8·sin(θ) ]
A = [ sin(4θ)·cos(4θ) - sin(4θ)·cos(4θ) ] / [ 8·sin(θ) ]
A = 0 ⇒ cos(θ)·cos(2θ)·cos(4θ) = sin(8θ) / [ 8·sin(θ) ]
sin(θ)·cos(θ)·cos(2θ)·cos(4θ) = (1 / 8)·sin(8θ)....(I)
θ ne olursa olsun bu iki ifade birbirine eşitse türevleri de eşit olacağından;
cos(θ)·cos(θ)·cos(2θ)·cos(4θ)-sin(θ)·sin(θ)·cos(2θ)·cos(4θ)-2·sin(θ)·cos(θ)·sin(2θ)·cos(4θ)-4·sin(θ)·cos(θ)·cos(2θ)·sin(4θ)=cos(8θ)....(II)
(II) ve (I) eşitlikleri taraf tarafa bölününce;
cot(θ) - tan(θ) - 2·tan(2θ) - 4·tan(4θ) = 8·cot(8θ)
tan(θ) + 2·tan(2θ) + 4·tan(4θ) + 8·cot(8θ) - cot(θ) = 0
cos[ tan(θ) + 2·tan(2θ) + 4·tan(4θ) + 8·cot(8θ) - cot(θ) ] = 1
A + cos[ tan(θ) + 2·tan(2θ) + 4·tan(4θ) + 8·cot(8θ) - cot(θ) ] =
0 + 1 =
1.

Kaynak: "Çözümlü Trigonometri Problemleri", Prof. Th. Caronnet, Çeviren: Dr. Fahrettin Akbulut, Ege Üniversitesi, 2. Baskı, 1969, Sayfa 56 - 57, Soru 327, Çözüm: sayfa 267 - 268
https://www.gazikitabevi.com.tr/cozumlu-trigonometri-problemleri