Çözüldü Değişkenlerine Ayrılabilir Diferansiyel Denklemde Türev ve İntegral

Colorado State University'den integrasyon faktörü kullanılarak çözülmüş bir diferansiyel denklemin fen lisesi klasik sınavında kolayca değişkenlerine ayrılabilir tipe döndürülerek yapılabilecek ve gerçek yaşamda olabilecek uyarlaması:

Bir ilacın insan bedeninin doğal biyolojik [ sirkadiyen (circadian) ] ritmi içinde kana karışıp absorbe olmasıyla kandaki konsantrasyonuna ait miligram düzeyinin saat olarak zamana (t) bağlı değişimine o miktarın ilacın alımından itibaren geçen sürenin kosinüsüyle çarpımı eklendiğinde bu toplamın yine bu periyodik emilime ilişkin kosinüs değerine eşit kaldığı ve ilacın alındığı anda kanın her litresindeki miktarının yarım miligram seviyesinden etki etmeye başladığı tespit edildiğine göre kandaki maksimum konsantrasyon seviyesi, alımı takip eden π / 6'ncı saatteki değerinden kaç miligram fazladır?

Google Gemini'ye şöyle dedim: "Give me a real life event with an initial value to which this differential equation can be applied:
dy / dt + y·cos(t) = cos(t)" ve o da sağ olsun çözüm dahil olmak üzere her şeyi yaptığı için bana da olayın anlaşılmasını sadece biraz laf salatasıyla zorlaştırma işi kaldı.

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/colost13.png

y ≠ 1 olduğuna dikkat edilerek y'(t) = (1 - y)·cos(t) = 0 ⇒ cos(t) = 0 ⇒ t = π / 2 saatte ilaç kanda maksimum düzeye çıkar ve
y(π / 2) = 1 - (1 / 2)·e^[ -sin(π / 2) ] = (2e - 1) / (2e) mg / L olur,
t = π / 6'ncı saatte y(π / 6) = 1 - (1 / 2)·e^[ -sin(π / 6) ] = (2√e - 1) / (2√e) mg / L'dir ve aradaki fark da;
(2e - 1) / (2e) - (2√e - 1) / (2√e) = (√e - 1) / (2e) mg / L (≈ 0,12).

Not: Birinci kesrin payı ve paydası e^(-1 / 2) ile çarpılarak payda eşitlenip sadeleştirilecek. İlgilenen öğrencilere ödev.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/colost11.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=(2e - 1) / (2e) - (2sqrt(e) - 1) / (2sqrt(e))
("Alternate forms"bölümünde)

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/ilaz12.png

Sorunun Basit Aslının Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/colost12.png
https://wetalldid.wordpress.com/wp-...xam-1-w-solutions-gerhard-dangelmayr-2011.pdf
[ Sayfa 2, Soru 2.(a) ]