Çözüldü Sonsuzda Limit için Trigonometrik Dönüşüm - Türev - Fonksiyon Çizimi

University of Southern Mississippi'den çözümlü bir problemin fen lisesi klasik sınavı için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

Trigonometri kullanarak y = f(x) = (x + 2)·(9x^2 + 1)^(-0,5) fonksiyonunun asimptotları arasındaki uzaklığın fonksiyonun maksimum değerine oranını bulunuz ve grafiğini çiziniz.

lim (x → ∓ ∞) f(x) = lim (x → ∓ ∞) (x + 2) / (9x^2 + 1)^0,5....(I)
x = (1 / 3)·tan(θ) ===> x → ∓ ∞ ⇒ θ → ∓π / 2 dönüşümüyle (I) limitinin yeni şekli,
lim (θ → ∓π / 2) [ (1 / 3)·tan(θ) + 2 ] / sec(θ) =
lim (θ → ∓π / 2) [ (1 / 3)·tan(θ) + 2 ]·cos(θ) =
lim (θ → ∓π / 2) [ (1 / 3)·sin(θ) + 2·cos(θ) ] =
(1 / 3)·(∓1) + 2·0 = ∓1 / 3
Asimptotlar Arası Uzaklık = 1 / 3 + |-1 / 3| = 2 / 3 birim....(II)
f(0) = 2 ve f(-2) = 0 olup f '(x) = (1 - 18x) / [ 2·(9x^2 + 1)^(3 / 2) ] = 0 ⇒ x = 1 / 18 ===> Tepe noktasının apsisi
Tepe noktasının ordinatı yani fonksiyonun maksimum değeri: f(1 / 18) = (1 / 18 + 2) / [ 9·(1 / 18^2) + 1 ]^0,5
f(1 / 18) = (37 / 18) / [ (√37) / 6 ] = (√37) / 3
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input?i=maximize (x+2)/sqrt(9x^2+1)
Asimptotlar arasındaki uzaklığın fonksiyonun maksimum değerine oranı: (2 / 3) / [ (√37) / 3 ] = 2 / √37.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/asimpt14.png

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/limit_25.png
https://wetalldid.wordpress.com/wp-...xam-1-w-solutions-calculus-1-sungwook-lee.pdf
[ Sayfa 3, Soru 4.(b) ]