Çözüldü Üstel Sayılar-Dönüşüm Geometrisi-Nokta ve Doğru Analitiği-Trigonometri-2. Derece Denklem

Bu soru normal bir 8. sınıf seviyesi için test problemi olarak çok ağır.

A(2x + 5, 3y - 4) noktası orijin etrafında saat yönünde 90° döndürüldüğünde yeni koordinatları A'(2^1, (-3)^2) ise x + y = ?

A) -5
B) -4
C) 5
D) 4

Çözüm - 1:
(x, y) Noktasının θ açısıyla dönme sonucu yeni koordinatları (X, Y) ise;

x = X·cos(θ) - Y·sin(θ)
y = X·sin(θ) + Y·cos(θ) olduğundan,

2x + 5 = 2^1·cos(90°) - (-3)^2·sin(90°) = 2·0 - 9·1 = -9 ⇒ 2x = -5 - 9 = -14 ⇒ x = -7....(I)
3y - 4 = 2^1·sin(90°) + (-3)^2·cos(90°) = 2·1 + 9·0 = 2 ⇒ 3y - 4 = 2 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2....(II)
(I) ve (II) değerleri taraf tarafa toplanınca x + y = -7 + 2 = -5.

Çözüm - 2:
Birbirlerine dik doğruların eğimleri çarpımı -1 = (9 / 2)·[ (3y - 4) / (2x + 5) ] ⇒ 3y - 4 = -(2 / 9)(2x + 5)....(III)
Döndürme sonrası noktaları orijine birleştiren doğru parçalarının uzunlukları eşit olduğundan;
(2x + 5)^2 + (3y - 4)^2 = (2^1)^2 + [ (-3)^2 ]^2 = 4 + 81 = 85....(IV)
(III) eşitliği (IV) denkleminde sol taraftaki yerine yazılıp (2x + 5)^2 + [ -(2 / 9)(2x + 5) ]^2 = 85....(V)
2x + 5 = u değişken dönüşümüyle u^2 + 4u^2 / 81 = 85 ⇒ 85u^2 = 85·81 ⇒ u^2 = 81 ⇒ u = ∓9
2x + 5 = ∓9 ⇒ x1 = -7 ve x2 = 2 olup x1 değeri (III) eşitliğine taşındığında;
3y1 - 4 = -(2 / 9)(2·(-7) + 5) ⇒ y1 = 2
x1 + y1 = -7 + 2 = -5.

https://semihemehmetkaraaliortaokul...yalar/2018_04/28121554_MUYLA_MEB_DENEME-3.pdf
[Sayfa 14 (pdf dosyada 17), Soru 19]
Yanıtlar: https://semihemehmetkaraaliortaokul...8121554_MUYLA_MEB_DENEME-3_CEVAP_ANAHTARI.pdf