Çözüldü Çift Fonksiyon-Denklem Çözümü-Nümerik Analizde Newton Raphson Yöntemi-Programlama

Haverford College'dan iyi hazırlanmamış bir GRE hazırlık sorusunun AYT uyarlaması

f(x) = x^12 ve g(x) = 2^x fonksiyonları analitik düzlemde en az kaç noktada kesişirler?

A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8

f Fonksiyonu çift ve daima pozitif olup ordinat eksenine göre simetriktir.
g Fonksiyonunun yatay asimptotu x eksenidir ve bu fonksiyon -sonsuzdan gelerek f fonksiyonunu negatif apsisli bir noktada keser ve daha sonra (0, 2) noktasından geçerek bu kez f fonksiyonunu pozitif apsisli bir noktada daha keser. Böylece bu iki fonksiyon "en az iki noktada" kesişirler.

Not: Gerçekte ise bu iki fonksiyon üçüncü bir noktada daha kesişirler ama bu üçüncü kökün varlığı ancak bir sayısal analiz yöntemiyle bulunabilir. Aşağıdaki Fortran programı Yarıya Bölme (Bisection) yöntemine göre kökleri bulmaktadır fakat o da logaritma alındıktan sonra 12·log|x| = x·log(2) eşitliğinde x sayısının kademeli artışıyla (60 ile 80 arasında) ne zaman eşitliğin büyük ölçüde sağlanabileceği esasına dayanmaktadır.

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/haverf12.png

Program:

Kod:

! https://codingfleet.com/code-generator/fortran/
program find_roots
    use iso_fortran_env, only: real64
    implicit none

    integer, parameter :: dp = real64
    real(dp) :: roots(3)

    call bisect(-1.0_dp, -0.5_dp, roots(1))
    call bisect( 1.0_dp,  2.0_dp, roots(2))
    call bisect(60.0_dp, 80.0_dp, roots(3))

    write(*, '(A, ES24.16)') 'Root 1: ', roots(1)
    write(*, '(A, ES24.16)') 'Root 2: ', roots(2)
    write(*, '(A, ES24.16)') 'Root 3: ', roots(3)

contains

    function g(x) result(y)
        real(dp), intent(in) :: x
        real(dp) :: y

        ! Equivalent to x**12 = 2**x for real x /= 0.
        y = 12.0_dp * log(abs(x)) - x * log(2.0_dp)
    end function g

    subroutine bisect(a_in, b_in, root)
        real(dp), intent(in) :: a_in, b_in
        real(dp), intent(out) :: root
        real(dp) :: a, b, mid, fa, fm
        integer :: i

        a = a_in
        b = b_in
        fa = g(a)

        if (fa * g(b) > 0.0_dp) error stop 'Interval does not bracket a root'

        do i = 1, 200
            mid = 0.5_dp * (a + b)
            fm = g(mid)

            if (abs(b - a) <= 1.0e-14_dp * max(1.0_dp, abs(mid))) exit

            if (fa * fm < 0.0_dp) then
                b = mid
            else
                a = mid
                fa = fm
            end if
        end do

        root = 0.5_dp * (a + b)
    end subroutine bisect

end program find_roots

Sorunun Aslı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/haverf11.png
https://www.haverford.edu/sites/default/files/Department/Math/GREMathPracticeTest.pdf
(Sayfa 52, Soru 63, Yanıtlar: Sayfa 56)

Google Gemini'nin Soruya İlişkin Yorumu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/haverf10.png