Çözüldü Türevin Geometrik Yorumu (3 Soru)

Konusu 'Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral' forumundadır ve bgulcen tarafından 25 Aralık 2011 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. bgulcen

    bgulcen Yeni Üye

    Mesajlar:
    96
    Beğenileri:
    5
    [​IMG]
    bgulcen, 25 Aralık 2011
    #1

    2. Benzer Konular: Türevin Geometrik
    Forum Başlık Tarih
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Türevin Geometrik Anlamı - İkinci Derece Denklemlerde Katlı Kök ve Köklerin Çarpımı 27 Şubat 2026
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Trigonometrik Fonksiyon - Türevin Geometrik Anlamı 22 Şubat 2026
    Zor Sorular (Akademik Problemler Hariç) Türevin Geometrik Anlamı - Noktanın ve Doğrunun Analitiği - Bileşik Fonksiyon Türevi 8 Ocak 2026
    Trigonometri,Karmaşık Sayılar,Logaritma,Parabol Eşlenik (Conjugate) Karmaşık Sayılar - Türevin Geometrik Anlamı - Doğrunun Analitiği - Üçgende Alan 8 Ocak 2026
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Türevin Geometrik Anlamı - Noktanın Analitiği - Trigonometri 14 Ekim 2025

  2. Cem

    Cem Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    3.388
    Beğenileri:
    1.333
    [​IMG]
    Cem, 25 Aralık 2011
    #2
    Honore bunu beğendi.
  3. bgulcen

    bgulcen Yeni Üye

    Mesajlar:
    96
    Beğenileri:
    5
    [​IMG] eğrisinin orijine en yakın noktasındaki teğetlerinin denklemleri nelerdir?
    bgulcen, 28 Ocak 2012
    #3
  4. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    11.081
    Beğenileri:
    652
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Sayın Cem Üstadım'ın çözümü imageshack.us'den silindiği için;
    Çözüm - 1:
    Parabolün üzerinde ve orijine en yakın noktanın koordinatları (a, b) ise orijine uzaklığı L = (a^2 + b^2)^0,5....(I)
    Ayrıca bu nokta parabol üzerinde olduğundan b^2 = 2a + 6....(II)
    (II) değeri (I) eşitliğinde yerine yazılırsa; L = (a^2 + 2a + 6)^0,5....(III)
    (III) eşitliğinde türev alınıp sıfıra eşitlenirse;
    dL / da = (2a + 2) / [ 2(a^2 + 2a + 6)^0,5 ] = 0 ⇒ a = -1....(IV) ve bu değer (II) eşitliğinde yerine yazılırsa b = ∓2....(V)
    (IV) ve (V) değerleri (III) eşitliğinde yerlerine yazılırsa L = √5
    Teğetin eğimi için parabol fonksiyonunun türevi alınırsa 2y·y' = 2 ⇒ y' = 1 / y ve teğetin eğimleri m = ∓1 / 2
    Teğet denklemleri:
    y - 2 = (1 / 2)·[ x - (-1) ] ⇒ y = (x + 5) / 2
    y - (-2) = (-1 / 2)·[ x - (-1) ] ⇒ y = (-x - 5) / 2
    ---
    Çözüm - 2:
    Parabolün üzerinde ve orijine en yakın noktanın koordinatları (a, b) ve buradan geçen teğet denklemi y = mx + n olsun.
    Parabol ve teğet kesiştirilip ortak denklemin yarım diskriminantı sıfıra eşitlenirse;
    (mx + n)^2 = 2x + 6 ⇒ m^2·x^2 + 2mn·x + n^2 - 2x - 6 = 0
    Δ' = (mn - 1)^2 - (m^2)(n^2 - 6) = 0 ⇒ 6 / b^2 - 2n / b + 1 = 0....(I)
    Teğetin eğiminin bulunması için parabol fonksiyonunun türevi alınırsa 2y·y' = 2 ⇒ y' = 1 / y ve teğetin eğimi de m = 1 / b....(II) olur.
    (a, b) noktası teğet üzerinde olduğundan b = (1 / b)·a + n ⇒ n = b - a / b....(III)
    (a, b) ve orijinden geçen doğrunun eğimi m2 = b / a....(IV) olup bu doğru ve teğet birbirine dik olacağından m2·m = -1....(V) yazılır.
    (II) ve (IV) değerleri, (V) eşitliğinde yerlerine yazılırsa (b / a)(1 / b) = -1 ⇒ a = -1....(VI)
    (a, b) noktası parabol üzerinde olduğundan b^2 = 2a + 6....(VII)
    (VI) değeri, (VII) eşitliğinde yerine yazılırsa b^2 = -2 + 6 ⇒ b = ∓2....(VIII)
    (-1, 2) noktasının orijine uzaklığı da L = [ (-1)^2 + 2^2 ]^0,5 = √5
    Teğetin eğimi (II) ve (VIII) değerleriyle m = ∓1 / 2
    Teğetin denklemleri:
    y - 2 = (1 / 2)·[ x - (-1) ] ⇒ y = (x + 5) / 2
    y - (-2) = (-1 / 2)·[ x - (-1) ] ⇒ y = (-x - 5) / 2
    veya (III) eşitliğinden n = ∓5 / 2 olup y = ∓x / 2 ∓ 5 / 2
    ---
    Grafik:
    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/parabo94.png

    Ekli Dosyalar:

    Honore, 24 Şubat 2017
    #4

Sayfayı Paylaş