Çözüldü İntegral

Bu soruyu kimin için çözdürmek istiyorsun?.. Kendin için olmadığı belli. Bu akademik bir soru.

Çok uzatmış. Fırsat bulunca benim çözümü yazarım.

Sayın Cem Hocamız'ın çözümü paradan başka tanrı tanımayan kalleş imageshack.us'den silindiği için:

x - 1 = √2tanθ....(I) ⇒ x = √2tanθ + 1 ⇒ dx = [ √2(secθ)^2 ]dθ
∫[ (2x^2 - 3x) / (x^2 - 2x + 3) ]dx = ∫[ 2(√2tanθ + 1)^2 - 3(√2tanθ + 1) ]·[ √2(secθ)^2 ]dθ =
4∫[ (sinθ)^2 / (cosθ)^3 ]dθ + 4√2∫[ sinθ / (cosθ)^2 ]dθ + 2∫secθdθ - 3√2∫[ sinθ / (cosθ)^2 ]dθ - 3∫secθdθ =
4∫{ [ 1 - (cosθ)^2 ] / (cosθ)^3 }dθ + √2∫[ sinθ / (cosθ)^2 ]dθ - ∫secθdθ =
4∫(secθ)^3dθ - 4∫secθdθ + √2∫[ sinθ / (cosθ)^2 ]dθ - ∫secθdθ =
4∫(secθ)^3dθ - 5∫secθdθ + √2∫[ sinθ / (cosθ)^2 ]dθ....(II)
∫(secθ)^3dθ integrali https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_secant_cubed adresinde gösterildiği gibi,
∫secθdθ integrali https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_the_secant_function adresinde gösterildiği gibi,
√2∫[ sinθ / (cosθ)^2 ]dθ integrali ise cosθ = k ⇒ sinθdθ = -dk değişken dönüşümüyle
√2∫[ sinθ / (cosθ)^2 ]dθ = -√2∫dk/k^2 = √2 / k + c1 = √2secθ + c1 olarak hesaplanıp (II) eşitliğinde yerlerine yazılırsa;
4∫(secθ)^3dθ - 5∫secθdθ + √2∫[ sinθ / (cosθ)^2 ]dθ =
4[ (1 / 2)secθ·tanθ + (1 / 2)ln|secθ + tanθ| ] - 5ln|secθ + tanθ| + c2 + √2secθ + c1 =
2secθ·tanθ - 3ln|secθ + tanθ| + √2secθ + C ve (I) eşitliğine uygun dik üçgen çizilip esas x değişkenine dönüştürülürse;
2[ √(x^2 - 2x + 3) / √2 ]·[ (x - 1) / √2 ] - 3ln| [ √(x^2 - 2x + 3) / √2 ] + [ (x - 1) / √2 ] | + √2[ √(x^2 - 2x + 3) / √2 ] + C =
x√(x^2 - 2x + 3) - 3ln| [ √(x^2 - 2x + 3) + (x - 1) ] / √2 | + C....(III)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_hyperbolic_function adresinde gösterildiği gibi arsinh(y) = ln[ y + √(y^2 + 1 ) ] olup y = x - 1 için
ln| [ √(x^2 - 2x + 3) + (x - 1) ] / √2 | = arsinh[ (x - 1) / √2 ] olduğundan (III) eşitliği, dolayısıyla da aranan integral;
x√(x^2 - 2x + 3) - 3arsinh[ (x - 1) / √2 ] + C haline gelir.

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate ((2x^2 - 3x)/ sqrt(x^2 - 2x + 3))dx